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第五章 概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

第一講 概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

重點(diǎn)：概率的定義、分布的均值、方差及標(biāo)準(zhǔn)差

難點(diǎn)：概率的統(tǒng)計(jì)定義

在我們所生活的世界上，充滿了不確定性：

從扔硬幣、擲色子和玩撲克等簡單的機(jī)會(huì)游戲到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象;從嬰兒的出生到世間萬物的繁衍生息;從流星墜落到大自然的千變?nèi)f化…,我們無時(shí)無刻不面臨著不確定性和隨機(jī)性。

一、兩種現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象和確定性現(xiàn)象。

隨機(jī)現(xiàn)象：不確定、偶然性的現(xiàn)象。

確定性現(xiàn)象：在一定條件下能預(yù)言其結(jié)果。

判斷下列現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象?

A 太陽從東邊升起

B 上拋物體一定下落

C 明天的最高氣溫

D 新生嬰兒的體重

隨機(jī)現(xiàn)象的例子在質(zhì)量管理中隨處可見。以下是隨機(jī)現(xiàn)象的另外一些例子：

⑴ 新產(chǎn)品在未來市場的占有率

⑵ 加工某機(jī)械軸的誤差

⑶ 一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到第一次發(fā)生故障的時(shí)間

⑷ 一罐午餐肉的重量。

認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首先要列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這些基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為 。

“拋一枚硬幣”的樣本空間 ;

“擲一顆色子”的樣本空間 ;

“一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到第一次發(fā)生故障的時(shí)間”的樣本空間 ;

“加工某機(jī)械軸的誤差”的樣本空間 。

二、隨機(jī)事件

隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用大寫字母A,B,C，D表示，它是樣本空間 的子集合。 在概率論中通常用一個(gè)長方形示意樣本空間 ，用其中的圓示意事件，這類圖形通常稱為維恩圖。(圖見考試用書132頁)

1. 隨機(jī)事件的特征

(1) 事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)子集A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。若 是 中的兩個(gè)樣本點(diǎn)，則當(dāng) 出現(xiàn)，且 時(shí)，事件A發(fā)生。當(dāng) 則事件A不發(fā)生。

(2) 任意樣本空間有一個(gè)最大子集，這個(gè)子集就是 ，由于它對應(yīng)的事件肯定發(fā)生，因此稱為必然事件，仍用 表示。比如，在擲一顆色子，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必然事件。

(3) 任意樣本空間有一個(gè)最小子集，這個(gè)子集就是空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為 。在擲一顆色子，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)超過7”就是一個(gè)不可能事件。

例1 若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格。用“0”表示合格品，用“1”表示不合格品。則檢驗(yàn)兩件產(chǎn)品的樣本空間 由下列四個(gè)樣本點(diǎn)組成。

其中樣本點(diǎn)(0,1)表示第一件產(chǎn)品是合格品，第二件產(chǎn)品是不合格品。其他的樣本點(diǎn)可以類似地解釋。

下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語言表示。

A=“至少有一件合格品”=

B=“恰有一件合格品”

=“有三件不合格品”=空集。

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

1 事件的包含與相等

若事件A發(fā)生，則事件B必然發(fā)生。此時(shí)A包含的樣本點(diǎn)在B所包含的樣本點(diǎn)當(dāng)中，記為 。若 且 ，則稱A與B相等，記為A=B。

2事件的和(并)

一個(gè)事件發(fā)生意味著A發(fā)生或者B發(fā)生，則稱該事件是A與B的并，記作 或 。由定義知道， 由所有屬于A或者B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成。對于n個(gè)事件 = 稱為這n個(gè)事件的和或者并。

3.事件的積(交)

一事件發(fā)生意味著A與B同時(shí)發(fā)生，稱該事件為A與B的積(交),記作 。由定義知道， 由所有既屬于A又屬于B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成。

n個(gè)事件的交記作 。

4.事件的差

由那些屬于A但是不屬于B的點(diǎn)構(gòu)成的新事件記作 。

5.互不相容事件(互斥)

若 ，則稱A與B互不相容事件。

6.對立事件

由所有不包含在A中的點(diǎn)構(gòu)成的新事件,記作 。

以上這些關(guān)系和運(yùn)算，可以用維恩圖表示，維恩圖的表示方法和集合的維恩圖的表示方法一致，這里不再重復(fù)(可以參照教材)。

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（責(zé)任編輯：中大編輯）

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