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2015年同等學力計算機綜合模擬4

發表時間:2014/8/9 17:14:07 來源:互聯網 點擊關注微信:關注中大網校微信

2015年同等學力計算機綜合模擬4

1. 證明或推翻下列命題:“設平面上有 100 個點,其中任意兩點間的距離至少是1,則最多有300 對點距離恰好是1”。

解答與評分標準:

命題成立(2 分)。

無向圖 G=,V 是平面上的這100 個點,兩個點相鄰當且僅當這兩點距離恰好是1(2 分)。

每個頂點的度數不超過 6(3 分)。

根據握手定律(3 分),

2|E|=頂點度數之和≤100*6, 所以這個圖的邊數不超過300(2 分)。

2. 所謂 n 維網格就是一個無向圖G=,其中V={ | 1≤ij≤mj,1≤j≤n},E={(v1,v2)| v1 和v2 恰好只在一個坐標上相差1}。討論當mj 和n 取哪些正整數值時,G 是哈密  頓圖,并給出證明。

解答與評分標準:

分情況討論。注意 G 的頂點數是m1*m2*m3*…*mn。

(1) 所有mj 都為1:G 是平凡圖,是哈密頓圖(2 分)。

(2) 恰好有一個mj 大于1:G 是長度大于1 的初級路徑,不是哈密頓圖(2 分)。

(3) 至少有兩個mj 大于1:G 是偶圖(無奇數長度回路)(2 分)。

(3a) m1*m2*m3*…*mn 是偶數:G 是哈密頓圖,用歸納法構造哈密頓回路(2 分)。

(3b) m1*m2*m3*…*mn 是奇數:G 不是哈密頓圖,偶哈密頓圖兩部分頂點數相等,總頂點數是偶數(2 分)。

3. 證明或推翻下列命題:“任意給定平面上有限個點,則連接這些點的最短

哈密頓回路的長度不超過連接這些點的最小生成樹(不添加額外頂點)的

長度的2 倍。子圖的長度就是這個子圖上的邊的長度之和。”

解答與評分標準:

命題成立(2 分)。

(課本圖論部分最后一章定理)先求最小生成樹奇數度頂點之間的“最小”匹配,加入匹配“邊”得到歐拉圖(3 分)。

沿著歐拉回路前進,“抄近路”避開已經訪問過的頂點,就得出哈密頓回路(3 分)。

由于距離的三角形不等式,這條哈密頓回路長度不超過最小生成樹長度的2 倍(2 分)。

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(責任編輯:中大編輯)

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