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第二十四章　數據特征的測度

對統計數據特征的測度的三個方面：(1)分布的集中趨勢;(2)分布的離散程度;(3)分布的偏態和峰度。

一、集中趨勢的測度

集中趨勢是指一組數據向某一中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢也就是尋找數據一般水平的代表值或中心值。

(一)眾數

1.含義：一組數據中出現頻數最多的那個數值，用M0表示。

2.特點：

(1)不僅適用于品質數據，也適用于數值型數據。

(2)眾數是一個位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強。

【教材190頁例題】一家連鎖超市的10個分店某月的銷售額(單位：萬元)分別為：61 65 73 78 80 80 80 80 96 97，這10個分店月銷售額的眾數是多少?

【答案】M0=80(萬元)

【解析】眾數是一組數據中出現頻數最多的那個數值。

(二)中位數

1.含義：把一組數據按從小到大的順序進行排列，位置居中的數值，用Me表示。

2.思路：數據排序→確定中位數的位置→確定中位數的具體數值

3.特點：

(1)主要用于順序數據，也適用于數值型數據，但不適用于分類數據。

(2)中位數也是一個位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強。

【教材191頁例題】某地級市下轄9個縣，每個縣的面積如下，計算中位數：

1455 2019 912 1016 1352 1031 2128 1075 2000

【答案】先排序 912 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

中位數(9+1)/2=5，中位數1352。

【例題-單】(2008)某小學六年級8個班的學生人數由少到多依次為34人、34人、34人、34人、36人、36人、37人、37人，其中位數為( )。

A.34

B.35

C.36

D.37

【答案】B

【解析】個數為偶數，中位數=(34+36)/2=35。

【例題-單】(2011)2010年某省8個地市的財政支出(單位：萬元)分別為：

59000 50002 65602 66450 78000 78000 78000 132100

這組數據的中位數和眾數分別是(　)萬元。

A.78000 78000

B.72225 78000

C.66450 132100

D.75894.25 132100

【答案】B

【解析】本題考查中位數和眾數的計算。把一組數據按從小到大的順序進行排列，位置居中的數值叫做中位數。把題干中的數據按順序排列就是50002，59000，65602，66450，78000， 78000，78000，132100。中位數就是(66450+78000)/2=72225。眾數就是一組數據中出現頻數最多的那個數值，即78000。所以答案是B。

(三)算術平均數

1.定義：算術平均數是全部數據的算術平均，又稱均值，用 表示。

2.計算公式： 簡單算術平均數處理未分組的原始數據

加權算術平均數處理經分組整理的數據

Xi——各組的組中值

fi——各組的頻數

【小竅門】組中值*頻率(權重)，再加總

3.特點：

(1)適用于數值型數據，但不適用于品質數據。

(2)算術平均數同時受到兩個因素的影響：各組數值的大小、各組分布頻數的多少。

(3)算術平均數易受極端值的影響。

4.地位：集中趨勢中最主要的測度值。

【教材191頁例題】某市商業企業協會根據100個會員樣本，整理出一年銷售額分布資料(表24-1)，計算年平均銷售額。

【答案】(125×4+175×16+225×40+275×28+325×10+375×2)÷100=240

或125×4/100+175×16/100+225×40/100+275×28/100+325×10/100+375×2/100=240

【例題-單】(2003)集中趨勢最主要的測度值是(　)。

A.眾數

B.中位數

C.均值

D.幾何平均數

【答案】C

【解析】算術平均數是全部數據的算術平均，又稱均值，是集中趨勢中最主要的測度值。

【例題-多】(2006)對于經分組整理的數據，其算術平均數會受到(　)等因素的影響。

A.各組數值的大小

B.各組分布頻數的多少

C.組數

D.數據個數

E. 極端值

【答案】ABE

【解析】算術平均數同時受到兩個因素的影響：各組數值的大小、各組分布頻數的多少。另外，算術平均數易受極端值的影響。

【例題-多】(2011)對分組數據計算加權算術平均數時，其平均數值會受到(　)等因素的影響。

A.組內極差

B.極端值

C.組內標準差

D.各組數值大小

E.各組頻數多少

【答案】BDE

【解析】本題考查算術平均數的相關知識。計算和運用算術平均數須注意：(1)算術平均數同時受到兩個因素的影響：各組數值的大小;各組分布頻數的多少。(2)算術平均數易受極端的影響。

(四)幾何平均數

1.含義：n個觀察值連乘積的n次方根就是幾何平均數。

3.用途：

(1)對比率、指數等進行平均。

(2)計算平均發展速度。

【總結】集中趨勢指標特點總結 指標極端值品質數據數值型數據

分類數據順序數據

位置平均數眾數不受影響適用適用適用

中位數不適用適用適用

數值平均數算術平均數受影響不適用不適用適用

幾何平均數不適用不適用連乘積關系的適用

【例題-單】(2005、2006、2007)下列集中趨勢中，適用于品質數據的是(　)。

A.眾數

B.簡單算數平均數

C.標準差

D.加權算術平均數

【答案】A

【解析】眾數不僅適用于品質數據，也適用于數值型數據。

【例題-單】(2008)下列數據特征的測度值中，受極端值影響的是(　)。

A.中位數

B.眾數

C.加權算術平均數

D.位置平均數

【答案】C

【解析】算術平均數易受極端值的影響，所以本題答案是C。

【例題-多】(2009)適于測度順序數據的指標有(　)。

A.離散系數

B. 中位數

C. 眾數

D. 均值

E. 標準差

【答案】BC

【解析】適于測度順序數據的指標有：眾數、中位數。

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