聲波的傳播和衰減

一、聲波在空氣中的傳播和衰減

1、聲波方程

聲振動必須滿足三個基本的物理定律，即牛頓第一定律、質量守恒定律以及描述壓強、溫度、體積等狀態參數的狀態方程。應用這三個定律可以推導出聲波傳播中的連續性方程、運動方程和物態方程，并進一步得到波動方程—— 、 和 對時間空間坐標的偏微分方程。作如下假設：①媒質為理想流體，即媒質中不存在黏滯性，聲波傳播時沒有能量損失;②沒有聲擾動時，媒質在宏觀上是靜止的、均勻的，因此媒質中靜壓強 、靜態密度 都是常數;③聲波傳播時，媒質中稠密和稀疏的過程是絕熱的;④假設是小振幅聲波，即滿足：

聲壓 比大氣壓 要小得多，即 ;

質點的位移 比波長 要小得多，即 ;

質點振動速度 比聲速 要小得多，即 ;

介質密度的相對變化要遠遠小于1，即 。

上述假設稱為理想流體媒質小振幅假定。可以分別推導連續性方程、運動方程和物態方程。

(1)連續性方程：是物質不滅定律在流體運動描述中的數學應用。對體積元 ，單位時間流入 的質量與流出 的質量之差等于該體積元內質量的變化率。由此可得體積元 在x、y、z方向上質量的增量。

并由此得到單位時間 內總的質量增量的矢量形式如下式， 為拉氏算子。

(2)運動方程

運動方程是聲壓對于距離的梯度等于媒質密度和質點振動速度乘積的負值。在聲場中取一體積元 ，當有聲波作用于體積元上，各方向的壓強將發生變化。設體積元在靜止時的壓強為 ，密度為 ，聲波產生的瞬時聲壓為 ，因體積元足夠小，可認為作用在各面的壓力均勻。對 方向，利用簡單力學分析和牛頓第二定律得：

由于是小振幅聲波，其密度的變化可忽略，即 ，可得聲波在 、 、 三個方向產生的加速度分別為：

式中： ——瞬時聲壓，Pa;

、 、 ——質點振動速度 在 、 、 三方向上的分量。

可得到運動方程，式中 為拉普拉斯算符。

(3)物態方程

媒質在聲波作用下，引起壓縮、膨脹的交替變化，媒質的密度和壓強都發生了變化，即媒質的狀態發生了變化。聲波傳播時，理想狀態下媒質的密度發生變化，而沒有能量的損耗，即為等熵絕熱過程。

物態方程一般可寫作： 考慮絕熱條件，上式簡化為： 理想狀態的物態方程為： (4)波動方程

聯立理想液體媒質中三個基本方程：連續方程式、運動方程式和物態方程式，可推出理想液體媒質中小振幅傳播的 、 、 中任意變量的波動方程，得到以下三式：

聲壓波動方程： 密度波動方程： 振速波動方程： 波動方程分別反映了聲壓、密度、振速隨時空變化的關系。式中拉普拉斯算子 在直角坐標系中展開為：

推導波動方程時，只是從媒質的基本特性出發，利用牛頓第二定律、物質守恒定律和絕熱壓縮方程，并未涉及聲源及聲場的具體情況，因此波動方程只反映聲波在媒質傳播過程的一般物理特性。

2、聲波在空氣中的傳播

從理想液體媒質中的小振幅聲波波動方程可看出，聲壓是空間和時間的函數，可以用來描述不同地點在不同時刻的聲壓變化規律。根據聲波傳播時波陣面形狀的不同，可將聲波分為平面波、球面波和柱面波。

(1)平面波

當聲波的波陣面是垂直于傳播方向的一系列平面時，稱其為平面聲波。

在平面波情況下， 只和 有關， ，故平面波的波動方程為：

其解為：

式中，符號“+”表示聲波沿 負方向傳播，符號“—”表示聲波沿正方向傳播，A為聲壓的幅值。

對于沿 正方向傳播的簡諧平面聲波，聲壓的表達形式為： 式中， ，稱為波數。可令 。

質點的振動速度為： ，式中 稱為質點振動的速度振幅。

聲波傳播中一個重要的參數——聲阻抗率，只與介質的密度 和介質中的聲速 有關，而與聲波的頻率、振幅無關，單位是 。

平面波的特征阻抗為： 平面聲波傳播時具有下述特性：聲壓和質點速度同相位;在理想介質中聲壓不隨距離變化;介質的質點速度也不隨距離變化;空氣的特征阻抗是常數;平面波的聲強 ;平面波的聲功率 。

(2)球面波

聲波以球面波傳播時， 只和球面坐標的 有關，其波動方程為：

令 代入上式得： 與平面波的波動方程一致，由此得到球面波的解的一般形式為：

式中，前項代表聲波以速度 沿半徑向外發散的球面波，后項代表向球心會聚的球面波(反射波)，在無限空間條件下不存在反射波。如果振動是簡諧方式的，則上式變為：

根據運動方程得到徑向質點振速與聲壓的關系：

因此球面波的聲阻抗率為： 與平面波不同，輻射球面波時介質的聲阻抗率是負數，它具有純阻和純抗兩部分，并與半徑 、波長 有關。因此，聲壓與質點不同相。球面波聲阻抗的幅值為 ，它比平面波的聲阻抗率要小。距離聲源大時( )，聲阻抗率接近平面波的特征阻抗。

球面聲波通常具有如下的傳播特性：

①理想介質中聲壓與球面波的半徑成反比。

②聲壓與振速間的相位差與 成反比。

③介質聲阻抗率為復數，當球面波半徑很大時純抗分量可以忽略。

④半徑很大時聲強 ，聲強與距離平方成反比。

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