第三章 機(jī)械能

　　一、主要內(nèi)容

　　本章內(nèi)容包括功、功率、動(dòng)能、勢(shì)能(包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能)等基本概念，以動(dòng)能定理、重力做功的特點(diǎn)、重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系及機(jī)械能守恒定律等基本規(guī)律。其中對(duì)于功的計(jì)算、功率的理解、做功與物體能量變化關(guān)系的理解及機(jī)械能守恒定律的適用條件是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。

　　二、基本方法

　　本章中所涉及到的基本方法有：用矢量分解的方法處理恒力功的計(jì)算，這里既可以將力矢量沿平行于物體位移方向和垂直于物體位移方向進(jìn)行分解，也可以將物體的位移沿平行于力的方向和垂直于力的方向進(jìn)行分解，從而確定出恒力對(duì)物體的作用效果;對(duì)于重力勢(shì)能這種相對(duì)物理量，可以通過巧妙的選取零勢(shì)能面的方法，從而使有關(guān)重力勢(shì)能的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。

　　三、錯(cuò)解分析

　　在本章知識(shí)應(yīng)用的過程中，初學(xué)者常犯的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在：“先入為主”導(dǎo)致解決問題的思路過于僵化，如在計(jì)算功的問題中，一些學(xué)生一看到要計(jì)算功，就只想到W= Fscosθ，而不能將思路打開，從W=Pt和W=ΔEt等多條思路進(jìn)行考慮;不注意物理規(guī)律的適用條件，導(dǎo)致亂套機(jī)械能守恒定律。

　　例1 如圖3-1，小物塊位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對(duì)小物塊的作用力 [ ]

　　A.垂直于接觸面，做功為零

　　B.垂直于接觸面，做功不為零

　　C.不垂直于接觸面，做功為零

　　D.不垂直于接觸面，做功不為零

　　「錯(cuò)解」斜面對(duì)小物塊的作用力是支持力，應(yīng)與斜面垂直，因?yàn)橹С至偱c接觸面垂直，所以支持力不做功。故A選項(xiàng)正確。

　　「錯(cuò)解原因」斜面固定時(shí)，物體沿斜面下滑時(shí)，支持力做功為零。受此題影響，有些人不加思索選A.這反映出對(duì)力做功的本質(zhì)不太理解，沒有從求功的根本方法來思考，是形成錯(cuò)解的原因。

　　「分析解答」根據(jù)功的定義W=F.scosθ為了求斜面對(duì)小物塊的支持力所做的功，應(yīng)找到小物塊的位移。由于地面光滑，物塊與斜面體構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，在水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒。初狀態(tài)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量為零，當(dāng)物塊有水平向左的動(dòng)量時(shí)，斜面體必有水平向右的動(dòng)量。由于m

　　「評(píng)析」求解功的問題一般來說有兩條思路。一是可以從定義出發(fā)。二是可以用功能關(guān)系。如本題物塊從斜面上滑下來時(shí)，減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能和斜面的動(dòng)能，物塊的機(jī)械能減少了，說明有外力對(duì)它做功。所以支持力做功。

　　例2 以20m/s的初速度，從地面豎直向上勢(shì)出一物體，它上升的最大高度是18m.如果物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力的大小不變，則物體在離地面多高處，物體的動(dòng)能與重力勢(shì)能相等。(g=10m/s2)

　　「錯(cuò)解」以物體為研究對(duì)象，畫出運(yùn)動(dòng)草圖3-3，設(shè)物體上升到h高處動(dòng)能與重力勢(shì)能相等

　　此過程中，重力阻力做功，據(jù)動(dòng)能定量有

　　物體上升的最大高度為H

　　由式①，②，③解得h=9.5m

　　「錯(cuò)解原因」初看似乎任何問題都沒有，仔細(xì)審題，問物全體離地面多高處，物體動(dòng)能與重力勢(shì)相等一般人首先是將問題變形為上升過程中什么位置動(dòng)能與重力勢(shì)能相等。而實(shí)際下落過程也有一處動(dòng)能與重力勢(shì)能相等。

　　「分析解答」上升過程中的解同錯(cuò)解。

　　設(shè)物體下落過程中經(jīng)過距地面h′處動(dòng)能等于重力勢(shì)能，運(yùn)動(dòng)草圖如3-4.

　　據(jù)動(dòng)能定量

　　解得h′=8.5m

　　「評(píng)析」在此較復(fù)雜問題中，應(yīng)注意不要出現(xiàn)漏解。比較好的方法就是逐段分析法。

　　例3 如圖3-5，木塊B與水平桌面間的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短。現(xiàn)將子彈、木塊和彈簧合在一起作研究對(duì)象，則此系統(tǒng)在從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮到最短的過程中 [ ]

　　A.動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒

　　B.動(dòng)量不守恒，機(jī)械能不守恒

　　C.動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒

　　D.動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒

　　「錯(cuò)解」以子彈、木塊和彈簧為研究對(duì)象。因?yàn)橄到y(tǒng)處在光滑水平桌面上，所以系統(tǒng)水平方向不受外力，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。又因系統(tǒng)只有彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。故A正確。

　　「錯(cuò)解原因」錯(cuò)解原因有兩個(gè)一是思維定勢(shì)，一見光滑面就認(rèn)為不受外力。二是規(guī)律適用條件不清。

　　「分析解答」以子彈、彈簧、木塊為研究對(duì)象，分析受力。在水平方向，彈簧被壓縮是因?yàn)槭艿酵饬Γ韵到y(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒。由于子彈射入木塊過程，發(fā)生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系統(tǒng)機(jī)械能減少，也不守恒，故B正確。

　　例4 如圖3-6，質(zhì)量為M的木塊放在光滑水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0射入木塊中。設(shè)子彈在木塊中所受阻力不變，大小為f，且子彈未射穿木塊。若子彈射入木塊的深度為D，則木塊向前移動(dòng)距離是多少?系統(tǒng)損失的機(jī)械能是多少?

　　「錯(cuò)解」(1)以木塊和子彈組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。系統(tǒng)沿水平方向不受外力，所以沿水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)子彈和木塊共同速度為v.據(jù)動(dòng)量守恒有mv0=(M+m)v

　　解得v=mv0

　　子彈射入木塊過程中，摩擦力對(duì)子彈做負(fù)功

　　(2)系統(tǒng)損失的機(jī)械能

　　即為子彈損失的功能

　　「錯(cuò)解原因」錯(cuò)解①中錯(cuò)誤原因是對(duì)摩擦力對(duì)子彈做功的位移確定錯(cuò)誤。子彈對(duì)地的位移并不是D，而D打入深度是相對(duì)位移。而求解功中的位移都要用對(duì)地位移。錯(cuò)解②的錯(cuò)誤是對(duì)這一物理過程中能量的轉(zhuǎn)換不清楚。子彈打入木塊過程中，子彈動(dòng)能減少并不等于系統(tǒng)機(jī)械能減少量。因?yàn)樽訌棞p少的功能有一部分轉(zhuǎn)移為木塊的動(dòng)能，有一部轉(zhuǎn)化為焦耳熱。

　　「分析解答」以子彈、木塊組成系統(tǒng)為研究對(duì)象。畫出運(yùn)算草圖，如圖3—7.系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒。據(jù)動(dòng)量守恒定律有

　　mv0=(M+m)v(設(shè)v0方向?yàn)檎?

　　子彈打入木塊到與木塊有相同速度過程中摩擦力做功：

　　由運(yùn)動(dòng)草圖可S木=S子-D ③

　　「評(píng)析」子彈和木塊相互作用過程中，子彈的速度由V0減為V，同時(shí)木塊的速度由0增加到V.對(duì)于這樣的一個(gè)過程，因?yàn)槠溟g的相互作用力為恒力，所以我們可以從牛頓運(yùn)動(dòng)定律(即f使子彈和木塊產(chǎn)生加速度，使它們速度發(fā)生變化)、能量觀點(diǎn)、或動(dòng)量觀點(diǎn)三條不同的思路進(jìn)行研究和分析。類似這樣的問題都可以采用同樣的思路。一般都要首先畫好運(yùn)動(dòng)草圖。例：如圖3-8在光滑水平面上靜止的長(zhǎng)木板上，有一粗糙的小木塊以v0沿木板滑行。情況與題中極其相似，只不過作用位置不同，但相互作用的物理過程完全一樣。

　　參考練習(xí)：如圖3-9一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的長(zhǎng)方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m

　　提示：注意分析物理過程。情景如圖3-10.其中隱含條件A剛好沒離B板，停在B板的左端，意為此時(shí)A，B無相對(duì)運(yùn)動(dòng)。A，B作用力大小相等，但加速度不同，由于A的加速度大，首先減為零，然后加速達(dá)到與B同速。

　　例5 下列說法正確的是( )

　　A.合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為零，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、動(dòng)量都不變

　　B.合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)施的沖量不為零，則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量必將改變，動(dòng)能也一定變

　　C.某質(zhì)點(diǎn)受到合力不為零，其動(dòng)量、動(dòng)能都改變

　　D.某質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量、動(dòng)能都改變，它所受到的合外力一定不為零。

　　「錯(cuò)解」錯(cuò)解一：因?yàn)楹贤饬?duì)質(zhì)點(diǎn)做功為零，據(jù)功能定理有△EA=0，因?yàn)閯?dòng)能不變，所以速度V不變，由此可知?jiǎng)恿坎蛔儭９蔄正確。

　　錯(cuò)解二：由于合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)施的沖量不為零，則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量必將改變，V改變，動(dòng)能也就改變。故B正確。

　　「錯(cuò)解原因」形成上述錯(cuò)解的主要原因是對(duì)速度和動(dòng)量的矢量性不理解。對(duì)矢量的變化也就出現(xiàn)理解的偏差。矢量發(fā)生變化時(shí)，可以是大小改變，也可能是大小不改變，而方向改變。這時(shí)變化量都不為零。而動(dòng)能則不同，動(dòng)能是標(biāo)量，變化就一定是大小改變。所以△Ek=0只能說明大小改變。而動(dòng)量變化量不為零就有可能是大小改變，也有可能是方向改變。

　　「分析解答」本題正確選項(xiàng)為D.

　　因?yàn)楹贤饬ψ龉榱悖瑩?jù)動(dòng)能定理有△Ek=0，動(dòng)能沒有變化，說明速率無變化，但不能確定速度方向是否變化，也就不能推斷出動(dòng)量的變化量是否為零。故A錯(cuò)。合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)施沖量不為零，根據(jù)動(dòng)量定理知?jiǎng)恿恳欢ㄗ儯@既可以是速度大小改變，也可能是速度方向改變。若是速度方向改變，則動(dòng)能不變。故B錯(cuò)。同理C選項(xiàng)中合外力不為零，即是動(dòng)量發(fā)生變化，但動(dòng)能不一定改變，C選項(xiàng)錯(cuò)。D選項(xiàng)中動(dòng)量、動(dòng)能改變，根據(jù)動(dòng)量定量，沖量一定不為零，即合外力不為零。故D正確。

　　「評(píng)析」對(duì)于全盤肯定或否定的判斷，只要找出一反例即可判斷。要證明它是正確的就要有充分的論據(jù)。

　　例6 物體m從傾角為α的固定的光滑斜面由靜止開始下滑，斜面高為h，當(dāng)物體滑至斜面底端，重力做功的瞬時(shí)功率為( )

　　「錯(cuò)解」錯(cuò)解一：因?yàn)樾泵媸枪饣泵妫矬wm受重力和支持。支持不

　　錯(cuò)解二：物體沿斜面做v0=0的勻加速運(yùn)動(dòng)a=mgsina

　　故選B.

　　「錯(cuò)解原因」錯(cuò)解一中錯(cuò)誤的原因是沒有注意到瞬時(shí)功率P=Fvcosθ。

　　只有Fv同向時(shí)，瞬時(shí)功率才能等于Fv，而此題中重力與瞬時(shí)速度V不是同方向，所以瞬時(shí)功率應(yīng)注意乘上F，v夾角的余弦值。

　　錯(cuò)解二中錯(cuò)誤主要是對(duì)瞬時(shí)功率和平均功率的概念不清楚，將平均功率當(dāng)成瞬時(shí)功率。

　　「分析解答」由于光滑斜面，物體m下滑過程中機(jī)械能守恒，滑至底端

　　F、v夾角θ為90°-α

　　故C選項(xiàng)正確。

　　「評(píng)析」求解功率問題首先應(yīng)注意求解的是瞬時(shí)值還是平均值。如果求瞬時(shí)值應(yīng)注意普遍式P=Fv.cosθ(θ為F，v的夾角)當(dāng)F，v有夾角時(shí)，應(yīng)注意從圖中標(biāo)明。

　　例7 一列火車由機(jī)車牽引沿水平軌道行使，經(jīng)過時(shí)間t，其速度由0增大到v.已知列車總質(zhì)量為M，機(jī)車功率P保持不變，列車所受阻力f為恒力。求：這段時(shí)間內(nèi)列車通過的路程。

　　「錯(cuò)解」以列車為研究對(duì)象，水平方向受牽引力和阻力f.

　　據(jù)P=F.V可知牽引力

　　F=P/v ①

　　設(shè)列車通過路程為s，據(jù)動(dòng)能定理有

　　「錯(cuò)解原因」以上錯(cuò)解的原因是對(duì)P=F.v的公式不理解，在P一定的情況下，隨著v的變化，F(xiàn)是變化的。在中學(xué)階段用功的定義式求功要求F是恒力。

　　「分析解答」以列車為研究對(duì)象，列車水平方向受牽引力和阻力。設(shè)列車通過路程為s.據(jù)動(dòng)能定理

　　「評(píng)析」發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率P恒定時(shí)，據(jù)P=F.V可知v變化，F(xiàn)就會(huì)發(fā)生變化。牽動(dòng)ΣF，a變化。應(yīng)對(duì)上述物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律有個(gè)定性的認(rèn)識(shí)。下面通過圖象給出定性規(guī)律。(見圖3-12所示)

　　例8 如圖3-13，質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球A和B，中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點(diǎn)O處有一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，把桿置于水平位置后釋放，在B球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置的過程中( )

　　A.B球的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

　　B.A球的重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，A球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒。

　　C.A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

　　D.A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械不守恒

　　「錯(cuò)解」B球下擺過程中受重力、桿的拉力作用。拉力不做功，只有重力做功，所以B球重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，機(jī)械能守恒，A正確。

　　同樣道理A球機(jī)械能守恒，B錯(cuò)誤，因?yàn)锳，B系統(tǒng)外力只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。故C選項(xiàng)正確。

　　「錯(cuò)解原因」 B球擺到最低位置過程中，重力勢(shì)能減少動(dòng)能確實(shí)增加，但不能由此確定機(jī)械能守恒。錯(cuò)解中認(rèn)為桿施的力沿桿方向，這是造成錯(cuò)解的直接原因。桿施力的方向并不總指向沿桿的方向，本題中就是如此。桿對(duì)A，B球既有沿桿的法向力，也有與桿垂直的切向力。所以桿對(duì)A，B球施的力都做功，A球、B球的機(jī)械能都不守恒。但A+B整體機(jī)械能守恒。

　　「分析解答」B球從水平位置下擺到最低點(diǎn)過程中，受重力和桿的作用力，桿的作用力方向待定。下擺過程中重力勢(shì)能減少動(dòng)能增加，但機(jī)械能是否守恒不確定。A球在B下擺過程中，重力勢(shì)能增加，動(dòng)能增加，機(jī)械能增加。由于A+B系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A球機(jī)械能增加，B球機(jī)械能定減少。所以B，C選項(xiàng)正確。

　　「評(píng)析」有些問題中桿施力是沿桿方向的，但不能由此定結(jié)論，只要桿施力就沿桿方向。本題中A、B球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿施力有切向力，也有法向力。其中法向力不做功。桿對(duì)B球施的力對(duì)B球的做負(fù)功。桿對(duì)A球做功為正值。A球機(jī)械能增加，B球機(jī)械能減少。

　　例9 質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為x0，如圖3-15所示。物塊從鋼板正對(duì)距離為3X0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)。已知物體質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)，若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。

　　「錯(cuò)解」物塊m從A處自由落下，則機(jī)械能守恒

　　設(shè)鋼板初位置重力勢(shì)能為0，則

　　之后物塊與鋼板一起以v0向下運(yùn)動(dòng)，然后返回O點(diǎn)，此時(shí)速度為0，運(yùn)動(dòng)過程中因?yàn)橹挥兄亓蛷椈蓮椓ψ龉Γ蕶C(jī)械能守恒。

　　2m的物塊仍從A處落下到鋼板初位置應(yīng)有相同的速度v0，與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)又返回機(jī)械能也守恒。返回到O點(diǎn)速度不為零，設(shè)為V則：

　　因?yàn)閙物塊與2m物塊在與鋼板接觸時(shí)，彈性勢(shì)能之比

　　2m物塊與鋼板一起過O點(diǎn)時(shí)，彈簧彈力為0，兩者有相同的加速度g.之后，鋼板由于被彈簧牽制，則加速度大于g，兩者分離，2m物塊從此位置以v為初速豎直上拋上升距離

　　「錯(cuò)解原因」這是一道綜合性很強(qiáng)的題。錯(cuò)解中由于沒有考慮物塊與鋼板碰撞之后速度改變這一過程，而導(dǎo)致錯(cuò)誤。另外在分析物塊與鋼板接觸位置處，彈簧的彈性勢(shì)能時(shí)，也有相當(dāng)多的人出錯(cuò)，兩個(gè)錯(cuò)誤都出時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)無解。這樣有些人就返回用兩次勢(shì)能相等的結(jié)果，但并未清楚相等的含義。

　　「分析解答」物塊從3x0位置自由落下，與地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。則有

　　v0為物塊與鋼板碰撞時(shí)的的速度。因?yàn)榕鲎舶宥蹋瑑?nèi)力遠(yuǎn)大于外力，鋼板與物塊間動(dòng)量守恒。設(shè)v1為兩者碰撞后共同速

　　mv0=2mv1 (2)

　　兩者以vl向下運(yùn)動(dòng)恰返回O點(diǎn)，說明此位置速度為零。運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。設(shè)接觸位置彈性勢(shì)能為Ep，則

　　同理2m物塊與m物塊有相同的物理過程

　　碰撞中動(dòng)量守恒2mv0=3mv2 (4)

　　所不同2m與鋼板碰撞返回O點(diǎn)速度不為零，設(shè)為v則

　　因?yàn)閮纱闻鲎矔r(shí)間極短，彈性形變未發(fā)生變化

　　Ep=E‘p (6)

　　由于2m物塊與鋼板過O點(diǎn)時(shí)彈力為零。兩者加速度相同為g，之后鋼板被彈簧牽制，則其加速度大于g，所以與物塊分離，物塊以v豎直上拋。

　　「評(píng)析」本題考查了機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒、能量轉(zhuǎn)化的。守恒等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。是一個(gè)多運(yùn)動(dòng)過程的問題。關(guān)鍵問題是分清楚每一個(gè)過程。建立過程的物理模型，找到相應(yīng)解決問題的規(guī)律。彈簧類問題，畫好位置草圖至關(guān)重要。

　　參考練習(xí)：如圖3-16所示勁度系數(shù)為k1的輕質(zhì)彈簧分別與質(zhì)量為m1，m2的物體1，2，栓接系數(shù)為k2的輕彈簧上端與物體2栓接，下端壓在桌面上(不栓接)。整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)施力將物體1緩慢地豎直上提，直到下面那個(gè)彈簧的下端剛脫離桌面，在此過程中，物體2的重力勢(shì)能增大了多少?物體1的重力勢(shì)能增大了多少?

　　提示：此題隱含的條件很多，挖掘隱含條件是解題的前提。但之后，必須有位置變化的情景圖如圖3-17.才能確定1，2上升的距離，請(qǐng)讀者自行解答。

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