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1.1  向量代數與空間解析幾何

1.1.1  向量代數

1.向量：既有大小又有方向的量叫向量

2.向量的運算：

（1）加法：平行四邊形法則

（2）數乘：只影響長度

共線：方向相同或相反的向量

共面：平行于同一平面的向量

3.向量的坐標表示

4.向量的數量積

 

數量積的應用

（1）求向量的模（長度）

（2）判定兩個向量垂直

5.向量積

規定為一個向量

大小：

方向：與均垂直

      方向符合右手系

性質：

  

  

向量積的應用

1.求面積：的模（長度）是

2.兩向量平行：

3.求同時垂直于兩個向量的（單位）向量

1.1.2  平面與直線

1.平面方程

1.點法式：平面過點  ，且法向量是 

2.平面的一般方程

2.平面與平面的平行、垂直條件

兩平面垂直：

兩平面平行：

        

              

3.空間直線的方程

（1）直線的一般方程

（2）直線的對稱式方程：過點，方向向量 的直線方程為

（3）直線的參數方程

4.兩直線的垂直、平行條件

設兩直線為

兩直線垂直： 

兩直線平行：  

5.直線和平面的相互關系

設平面方程為

直線方程為

直線和平面垂直： 

直線和平面平行：

1.1.3曲面及其方程

1.柱面方程

表示母線平行于軸的柱面

表示母線平行于軸的柱面

表示母線平行于軸的柱面

2.圓錐面方程

3.旋轉面方程

由曲線繞軸旋轉一周

面的方程

4.二次曲面

橢球面：

   

        

單葉雙曲面方程

          

               

雙葉雙曲面方程

橢圓拋物面方程

雙曲拋物面方程

典型例題

1.

2.  互相垂直，則t=

3. 三個向量共面，則t=____c____

a.1或2      b.-1或-2      c.2或-2       d.1或-2

 

4.直線過點 ，方向向量為,以下選項，哪個不是它的方程？ a

a.           b.

c.                  d.

5.直線  與直線相交，則t=______d

    a.-1                  b.0           c.2           d.1

解：其方向向量分別為                     

顯然不平行。易知分別過

所以，要便其平行，必有共面。

 

6.過點的平面方程是 a

     a.x+y-1=0              b.x+y+1=0

     c.x+z-1=0              d.y+z-1=0

解：易知平面的法向量為

且過點，所以其方程為

7.設平面的方程是x-z=1，則以下選項錯誤的是 b

    a.平面 過（1，0，0），法向量是-i+k

    b.平面 過（1，0，1），法向量是i-k

    c.平面 過（0，1，-1），法向量是i-k

    d.平面過（1，1，0），法向量是-i+k

解：易知平面的法向量為n=i-k或-i+k，所以四個選項均可，將（1，0，1）代入方程不成立，選b。

8.過點(-1,0,1)，與平面3x+y+1=0垂直的直線方程為  d

    a.x=3t+1,y=t,z=1              b.x=3t-1,y=-t,z=0

    c.          d.

解：易知，直線的方向為n=3i+j或-3i-j，故a、c、d符合，又過(-1,0,1)，所以選d。

9.過直線  和的平面方程為 a

    a.x-z-2=0                       b.x+z=0

    c.x-2y+z=0                      d.x+y+z=0

解：兩直線的方向都是l=(2,3,2)，所以平行，又因為直線分別過a(-1,2,-3),b(3,-1,1)，所以平面的方程向量垂直于ab和兩直線，故其方向為

或i-k，只有a滿足。

10.已知平面x-y+3z+1=0與直線1-x=y-1=(z+3)/-3，直線與平面 c

    a.相交但不垂直          b.平行

    c.垂直                  d.重合

解：易知平面的法向量和直線的方向向量都是 （1，-1，3），所以二者垂直。

11.下列方程中表示母線平行于y軸的圓柱面方程是 c

    a.x²+y²+z²=1             b. x²+y²=1

    c. x²+z²=1               d. y²+z²=1

12.將xoy坐標面上的拋物線y=x² 繞y軸旋轉一周所生成的旋轉面的方程是 a

    a. x²+z²=y               b. y²+z²=x⁴

    c. x²+z²=y²               d. x²+z²=y⁴

13.方程2x²-y²-2z²=1在三維空間中表示 b

    a.單葉雙曲面    b.雙葉雙曲面

    c.橢球面        d.橢圓柱面

14.方程x²+y²+z²-4y-1=0在三維空間中表示 c

a.平面                                   b.旋轉面

c.球面                                   d.不表示任何圖形

解：x²+（y-2）²+z²=5，所以表示球面