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第三章測量數據處理

重點：

1）測量誤差的處理；

2）測量不確定度的評定與表示以及測量結果的報告。

難點：

1）減小系統誤差的方法；

2）實驗標準偏差的計算；

3）異常值的判別和剔除；

4）測量重復性和測量復現性的評定；

5）計量器具計量特性的評定；

6) 統計技術的應用，評定測量不確定度的步驟和方法;

7) 數據的有效位數和修約規定。

 

第一節測量誤差的處理

知識點：誤差的一般分類

1. 系統誤差（可定誤差）

系統誤差的特性

重復出現、恒定不變（一定條件下）、單向性、大小可測出并校正，故有稱為可定誤差。可以用對照試驗、空白試驗、校正儀器等辦法加以校正。

2. 隨機誤差（不可定誤差）

產生原因與系統誤差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。

 

例如：

測定時環境的溫度、濕度和氣壓的微小波動，以其性能的微小變化等。

隨機誤差的特性：有時正、有時負，有時大、有時小，難控制（方向大小不固定，似無規律）；但在消除系統誤差后，在同樣條件下進行多次測定，則可發現其分布也是服從一定規律（統計學正態分布），可用統計學方法來處理

3．一般規律認識

系統誤差——可檢定和校正

隨即誤差——可控制

只有校正了系統誤差和控制了偶然誤差，測定結果才可靠。

知識點二：系統誤差的發現和減小系統誤差的方法

系統誤差可能由儀器誤差、裝置誤差、人為誤差、外界誤差及方法誤差引起，因此要發現系統誤差是哪種誤差引起的不太容易，而要完全消除系統誤差則是更加困難的。

（一）系統誤差的發現

　  (1)在規定的測量條件下多次測量同一個被測量，從所得測量結果與計量標準所復現的量值之差可以發現并得到恒定的系統誤差的估計值。

　  (2)在測量條件改變時，例如隨時間、溫度、頻率等條件改變時，測量結果按某一確定的規律變化，可能是線性地或非線性地增長或減小，就可以發現測量結果中存在可變的系統誤差。

(二)減小系統誤差的方法

要完全消除系統誤差比較困難，但降低系統誤差則是可能的。

降低系統誤差的首選方法是用標準件校準儀器，作出校正曲線；最好是請計量部門或儀器制造廠家校準儀器；其次是實驗時正確地使用儀器，如調準儀器的零點、選擇適當的量程、正確地進行操作等。

通常，消除或減小系統誤差有以下幾種方法：

1.采用修正的方法

　　對系統誤差的已知部分，用對測量結果進行修正的方法來減小系統誤差。

 

例如：

測量結果為300c，用計量標準測得的結果是30.10c，則已知系統誤差的估計值為-0.10c，也就是修正值為+0.10c；

依據：

已修正測量結果=未修正測量結果+修正值

已修正測量結果為=300c +0.10c=30.10c。

 

2.在實驗過程中盡可能減少或消除一切產生系統誤差的因素

　　例如：

在試驗或檢測儀器使用時，如果應該對中的未能對中，應該調整到水平、垂直或平行理想狀態的未能調好，都會帶來測量的系統誤差，操作者應仔細調整，以便減小誤差。

又如在對模擬式儀表讀數時，由于測量人員每個人的習慣不同會導致讀數誤差，采用了數字顯示儀器后就消除了人為讀數誤差。

3.選擇適當的測量方法，使系統誤差抵消而不致帶入測量結果中的誤差符號相反。

試驗和測量中常用的幾種方法：

　　(1)恒定系統誤差消除法

　　①異號法

　　改變測量中的某些條件，例如測量方向、電壓極性等，使兩種條件下的測量結果中的誤差符號相反，取其平均值以消除系統誤差。

【案例】帶有螺桿式讀數裝置的測量儀存在空行程，即螺旋旋轉時，刻度變化而量桿不動，引起測量的系統誤差。為消除這一系統誤差，可從兩個方向對線。

第一次順時針旋轉對準刻度讀數為d，設不含系統誤差的值為a，空行程引起的恒定系統誤差為ε，則d=a+ε；

第二次逆時針旋轉對準刻度讀數為d′，此時空行程引起的恒定系統誤差為-e，即

d′= a一e。

于是取平均值就可以得到消除了系統誤差的測量結果：a=d+d′/2。

　　

②交換法

　　將測量中的某些條件適當交換，例如被測物的位置相互交換，設法使兩次測量中的誤差源對測結果的作用相反，從而抵消了系統誤差。

例如：

用等臂天平稱重，第一次在右邊秤盤中放置被測物x，在左邊秤盤中放置砝碼p，使天平平衡，這時被測物的質量為x=pll/l2，當兩臂相等(ll=l2)時x=p；如果兩臂存在微小的差異(ll≠l2)，而仍以x=p為測量結果，就會使測量結果中存在系統誤差。為了抵消這一系統誤差，可以將被測物與砝碼互換位置，此時天平不會平衡，改變砝碼質量到p′時天平平衡，則這時被測物的質量為x=p′l2/l1。所以可以用位置交換前后的兩次測得值的幾何平均值得到消除了系統誤差的測量結果

x=（p p′）1/2

 

③替代法

　　保持測量條件不變，用某一已知量值的標準器替代被測件再作測量，使指示儀器的指示不變或指零，這時被測量等于已知的標準量，達到消除系統誤差的目的。

【案例1】用精密電橋測量某個電阻器時，先將被測電阻器接入電橋的一臂，使電橋平衡；然后用一個標準電阻箱代替被測電阻器接入，調節電阻箱的電阻，使電橋再次平衡。則此時標準電阻箱的電阻值就是被測電阻器的電阻值。可以消除電橋其他三個臂的不理想等因素引入的系統誤差。

【案例2】采用高頻替代法校準微波衰減器，其測量原理圖如圖3-1所示。

 

 

 


圖3-1高頻替代法校準微波衰減器測量原理圖

當被校衰減器衰減刻度從al改變到a2時，調節標準衰減器從asl到as2，使接收機指示保持不變，則被校衰減器的衰減變化量al一a2=ax等于標準衰減器的衰減變化量as=as2一asl，，可以使微波信號源和測量接收機在校準中不引入系統誤差。

 

(2)可變系統誤差消除法

　合理地設計測量順序可以消除測量系統的線性漂移或周期性變化引入的系統誤差。

① 對稱測量法消除線性系統誤差

 

　【案例1】用電壓表作指示，測量被檢電壓源與標準電壓源的輸出電壓之差，由于電壓表零位存在線性漂移(如圖3-2所示)，會使測量引入可變的系統誤差。

此時可以采用下列測量步驟來消除這種系統誤差：

順序測量4次，在t1時刻從電壓表上讀得標準電壓源的電壓測量值a，在t2時刻從電壓表上讀得被檢電壓源的電壓測量值x，在t3時刻從電壓表上再讀得被檢電壓源的電壓測量值x′，在t4時刻再讀得標準電壓源的電壓測量值況a′。

 

 

 

 

 

 

 

 


圖3-2對稱測量法

設標準電壓源和被檢電壓源的電壓分別為vs和vx，系統誤差用ε表示，則

t1時：a=vs十ε1，

t2時：x=vx十ε2

t3時：x＇=vx十ε3

t4時：a＇=vs十ε4

測量時只要滿足t2一t1= t4一t3，當線性漂移條件滿足時，則有：ε2—ε1=ε4—ε3

于是有：

vx—vs =(x+ x＇)/2—(a+ a＇)/2　，

由上式得到的被檢電壓源與標準電壓源的輸出電壓之差測量結果中消除了由于電壓表線性漂移引入的系統誤差。

【案例2】用質量比較儀作指示儀表，用f2級標準砝碼替代被校砝碼的方法校準標稱值為10kg的ml級砝碼，為消除由質量比較儀漂移引入的可變系統誤差，砝碼的替代方案采用按“標準～被校～被校～標準”順序進行。

測量數據如下：第一次加標準砝碼時讀數為ms1=+0.010g，接著加被校砝碼，讀數為mx1=+0.020g；再第二次加被校砝碼，讀數為mx2=0.025g，再第二次加標準砝碼，讀數為ms2=+0.0l5g。則被校砝碼與標準砝碼的質量差

δm由下式計算得到：

δm=( mx1+ mx2)/2一(ms1+ ms1)/2=(0.045g一0.025g)/2=+0.01g，

由此獲得被校砝碼的修正值為一0.01g。

②半周期偶數測量法消除周期性系統誤差

——這種方法廣泛用于測角儀上。

　周期性系統誤差通常可以表示為：

ε=asin2πl/t

式中：t——誤差變化的周期；

l——決定周期性系統誤差的自變量(如時間、角度等)。

　　由公式可知，因為相隔t/2半周期的兩個測量結果中的誤差是大小相等符號相反的。

——所以凡相隔半周期的一對測量值的均值中不再含有此項系統誤差。

(三)修正系統誤差的方法

1.在測量結果上加修正值

　　——修正值的大小等于系統誤差估計值的大小，但符號相反。

——當測量結果與相應的標準值比較時，測量結果與標準值的差值為測量結果系統誤差估計值。

　　　　　　　　δ=—xs

式中：

δ——測量結果的系統誤差估計值；

　　——未修正的測量結果；

xs——標準值。

 

 

　注意的是：當對測量儀器的示值進行修正時，δ為儀器的示值誤差

　　　　　　　　δ=x—xs

式中：

x——被評定的儀器的示值或標稱值；

　　xs——標準裝置給出的標準值。

則修正值c為

　　　　　　　　c= －δ　　

已修正的測量結果xc為

　　　　　　　　x c=  +c

 

　【案例】用電阻標準裝置校準一個標稱值為1ω的標準電阻時，標準裝置的讀數為1.0003ω。問：該被校標準電阻的系統誤差估計值、修正值、已修正的校準結果分別為多少?

　　【案例分析】

系統誤差估計值=示值誤差

=1ω－1.0003ω

=－0.0003ω

依據修正值的大小等于系統誤差估計值的大小，但符號相反，則

示值的修正值= +0.0003ω

　　　　　　　巳修正的校準結果=1ω+0.0003ω

=1.0003ω

 

2.對測量結果乘修正因子

修正因子cr等于標準值與未修正測量結果之比

cr=xs/

已修正的測量結果xc為

xc=cr

 

3.畫修正曲線

　　當測量結果的修正值隨某個影響量的變化而變化，這種影響量例如溫度、頻率、時間、長度等，那么應該將在影響量取不同值時的修正值畫出修正曲線，以便在使用時可以查曲線得到所需的修正值。例如電阻的溫度修正曲線的示意圖如圖3-3所示。

實際畫圖時，通常要采用最小二乘法將各數據點擬合成最佳曲線或直線。

 

 

 

 

 

 

 


圖3-3電阻溫度修正曲線

 

 

4.制定修正值表

　　當測量結果同時隨幾個影響量的變化而變化時，或者當修正數據非常多且函數關系不清楚等情況下，最方便的方法是將修正值制定成表格，以便在使用時可以查表得到所需的修正值。表格形式舉例如表3-1所示。

　　　　　　　　　　　　　　表3-1電阻的頻率和溫度修正值表ω

溫度/0c

頻率/hz

20

30

40

50

60

10

 

 

 

 

 

200

 

 

 

 

 

　

提示注意的是：

　  (1)修正值或修正因子的獲得，最常用的方法是將測量結果與計量標準的標準值比較得到，也就是通過校準得到。修正曲線往往還需要采用實驗方法獲得。

　 (2)修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子時，需要評定這些值

的不確定度。

(3)使用已修正測量結果時，該測量結果的不確定度中應該考慮由于修正不完善引入的不確定度分量。

 

知識點三：實驗標準偏差的估計方法

　　——隨機誤差

隨機誤差是指“測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差”。它是在重復測量中按不可預見的方式變化的測量誤差的分量。

由于實際工作中不可能測量無窮多次，因此不能得到隨機誤差的值。

隨機誤差的大小程度反映了測量值的分散性，即測量的重復性。

　——實驗標準偏差

重復性是用實驗標準偏差表征的。

用有限次測量的數據得到的標準偏差的估計值稱為實驗標準偏差，用符號s表示。

實驗標準偏差是表征測量值分散性的量。

當用多次測量的算術平均值作為測量結果時，測量結果的實驗標準偏差是測量值實驗標準偏差的倍(n為測量次數)。因此可以說，當重復性較差時可以增加測量次數取算術平均值作為測量結果，來減小測量的隨機誤差。

(一)幾種常用的實驗標準偏差的估計方法

在相同條件下，對同一被測量x作n次重復測量，每次測得值為xi，測量次數為n，則實驗標準偏差可按以下幾種方法估計。

1.  貝塞爾公式法

     ——適合于測量次數較多的情況

從有限次獨立重復測量的一系列測量值代入式（3—6）得到估計的標準偏差（用樣本的標準偏差s來衡量分析數據的分散程度）。

          （3—6）

式中（n-1）為自由度，它說明在n次測定中，只有（n—1）個可變偏差，引入（n—1），主要是為了校正以樣本平均值代替總體平均值所引起的誤差。

式中：——n次測量的算術平均值，

　　　　         vi——第i次測量的測得值；

vi=xi———殘差

               v=n—1——自由度

　　             s(x)——(測量值x的)實驗標準偏差。

 

【案例】對某被測件的長度重復測量10次，測量數據如下：10.0006m， 10. 0004m，

10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用實驗標準偏差表征測量的重復性，請計算實驗標準偏差。

　　【案例分析】

　　n=10，計算步驟如下：

(1)計算算術平均值：

=10m+(0.0006+0.0004+0.0008+0.0002+0.0003+0.0005+0.0005+0.0007+0.0004+0.0006)m/10=10.0005m

(2)計算10個殘差：

+0.0001，－0.0001，+0.0003，-0.0003，－0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，－0.0001，+0.0001

(3)計算殘差平方和：

(4)計算實驗標準偏差

所以實驗標準偏差s(x)=0.00015m=0.0002m(自由度為n－1=9)。

2.極差法

一般在測量次數較小時采用該法。

從有限次獨立重復測量的一系列測量值中找出最大值xmax最小值工xmin，得到極差r=xmax—xmin，根據測量次數n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估計的標準偏差。

　　　　　　　　　　

s(x)=( xmax—xmin)/c                        (3-8)

 

式中：

c——極差系數。

　極差法的c值列于表3-3。

　　　　　　　　　　　　表3-3極差法的c值表

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

cn

1.13

1.64

2.06

2.33

2.53

2.70

2.85

2.97

3.08

3.47

3.74

【案例】對某被測件進行了4次測量，測量數據為：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。請用極差法估算實驗標準偏差。

　【案例分析】

　計算步驟如下：

　　(1)計算極差：r=xmax－xmin=0.06g－0.02g=0.04g

　  (2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06；

　  (3)計算實驗標準偏差：s(x)=( xmax—xmin)/c =0.04g/2.06=0.02g。

 

3.較差法　

——適用于頻率穩定度測量或天文觀測等領域。

從有限次獨立重復測量的一列測量值中，將每次測量值與后一次測量值比較得到差值，代入下值得到估計的標準偏差：

(二)各種估計方法的比較

　　貝塞爾公式法是一種基本的方法，但n很小時其估計的不確定度較大，例如n=9時，由這種方法獲得的標準偏差估計值的標準不確定度為25%，而n=3時標準偏差估計值的標準不確定度達50%，因此它適合于測量次數較多的情況。

　極差法和最大殘差法使用起來比較簡便，但當數據的概率分布偏離正態分布較大時，應當以貝塞爾公式法的結果為準。在測量次數較少時常采用極差法。

較差法更適用于隨機過程的方差分析，如適用于頻率穩定度測量或天文觀測等領域。

知識點四：算術平均值及其實驗標準差的計算

　(一)算術平均值的計算

　　在相同條件下對被測量x進行有限次重復測量，得到一系列測量值x1， x2， x3，，，，，xn，平均值為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

  (二)算術平均值實驗標準差的計算

若測量值的實驗標準偏差為 s(x) ，則算術平均值的實驗標準偏差為

　　　　　　　　　　　　　

有限次測量的算術平均值的實驗標準偏差與成反比。測量次數增加，減小，即算術平均值的分散性減小。

增加測量次數，用多次測量的算術平均值作為測量結果，可以減小隨機誤差，或者說，減小由于各種隨機影響引入的不確定度。

但隨測量次數的進一步增加，算術平均值的實驗標準偏差減小的程度減弱，相反會增加人力、時間和儀器磨損等問題，所以一般取n=3~20。

【案例】某計量人員在建立計量標準時，對計量標準進行過重復性評定，對被測件重復測量10次，按貝塞爾公式計算出實驗標準偏差s(x)=0.08v。現在，在相同條件下對同一被測件測量4次，取4次測量的算術平均值作為測量結果的最佳估計值，他認為算術平均值的實驗標準偏差為s(x)的1/4，即s(x)=0.08v/4=0.02v。

【案例分析】計量人員應搞清楚算術平均值的實驗標準偏差與測量值的實驗標準偏差有

什么關系?依據jjf1059——1999《測量不確定度評定與表示》和國家計量技術法規統一宣貫教材《測量不確定度理解、評定與應用》，案例中的計算是錯誤的。

按貝塞爾公式計算出實驗標準偏差s（x）=0.08v是測量值的實驗標準偏差，它表明測量值的分散性。多次測量取平均可以減小分散性，算術平均值的實驗標準偏差是測量值的實驗標準偏差的。

所以算術平均值的實驗標準偏差應該為：