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1.6  線性代數

知識點一  行列式

行列式是線性代數的基礎，是討論矩陣、向量、線性方程組的有力工具，本節的重點在于了解行列式的概念，掌握行列式的性質，會利用行列式的性質和展開定理熟練計算3、4階行列式和簡單高階行列式，不必追求行列式的計算技巧。

1.行列式的概念

 

2.行列式的性質

性質1：行列式中行列互換，其值不變。

性質2：行列式中兩行（列）對換，其值交號。

性質3：行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以將公因子提到行列式外。

性質4：行列式中如果有一行（列）每個元素都由兩個數之和組成，行列式可以拆成兩個行列式的和。

性質5：行列式中如果兩行（列）元素對應相等，則行列式的值為0。

性質6：行列式中如果兩行（列）元素對應成比例，則行列式值為0。

性質7：行列式中如果有一行（列）元素全為0，則行列式的值為0。

性質8：行列式某行（列）元素的k倍加到另一行（列），其值不變。

知識點二  矩陣

矩陣是矩形數表，除了矩陣加法和數乘這兩種運算和普通數的加法和乘法有相同的 運算性質外，其他運算如乘法有其獨特的運算性質。矩陣沒有除法，方陣有逆矩陣的 概念，要掌握逆矩陣的性質，并會用各種方法準確求出逆矩陣。

矩陣的初等變換是研究矩陣的各種性質及應用矩陣解決各種問題的有力工具，要學會正確使用。矩陣的秩 是反映矩陣本質的重要概念，不但要學會求給定矩陣的秩，而且還要會用矩陣的秩來解決一系列問題。

1.矩陣的概念

 

2.矩陣的運算

（1）相等：

（2）零矩陣：所有元素都是0

（3）負矩陣：

（4）數乘：每個元素均倍乘

（5）加法：對應元素相加

（6）減法：對應元素相減

（7）矩陣乘法

矩陣加法運算性質：

1)交換律a+b=b+a。

2)結合律a+（b+c）=(a+b )+c。

3)有零矩陣0，對任意矩陣a，a+0 =0+a=a

4)任意矩陣a，都有負矩陣-a，使得 a+(-a) =0

數乘性質

設k、l是兩個常數，a、b是同型矩陣，則

1)1a =a,0a =0

2)k(la)=（kl）a

3)k(a+b)=ka +kb

4) (k+l)a= ka +la

矩陣的乘法

乘法性質

1)結合律a(bc)=(ab)c

2)分配律 (a+b)c=ac+bc

         c(a+b)=ca+cb

3)k是常數，則

   k(ab)=(ka)b =a(kb)

矩陣的轉置

3.逆矩陣

定義：設a是n階方陣，如果存在n階方陣b，使得ab=ba=i成立，則稱a為可逆矩陣，b是a的逆矩陣。

定理：矩陣可逆的充分必要條件是矩陣的行列式不等于0。

4.對角矩陣

5．矩陣的初等變換與初等矩陣

行的初等變換

1)交換第i行和第j行。

2)用一個非零常數乘矩陣某一行的每個元素。

3)把矩陣某一行的元素的k倍加到另一行。

列的初等變換

1)交換第i列和第j列。

2)用一個非零常數乘矩陣某一列的每個元素。

3)把矩陣某一列的元素的k倍加到另一列。

初等矩陣

 

 

 

初等矩陣的作用

初等矩陣與初等變換有著密切的關系：左乘一個初等矩陣相當于對矩陣作了一次與初等矩陣相應類型一樣的初等行變換；右乘一個初等矩陣相當于對矩陣作了一次與初等矩陣相應類型一樣的初等列變換。

定義：若矩陣b可以由矩陣a經過一系列初等變換得到，則稱矩陣a和b等價。

矩陣的等價是同型矩陣之間的一種關系，它具有如下性質：

1)反身性：任何矩陣和自己等價。

2)對稱性：若矩陣a和矩陣b等價，則矩陣b和矩陣a也等價。

3)傳遞性：若矩陣a和矩陣b等價，矩陣b和矩陣c等價，則矩陣a和矩陣c等價。

矩陣的標準形

任何矩陣都可經過初等變換得到以下形式

稱為矩陣的標準形

矩陣的秩

子式：在mxn矩陣a中，任取k行k列，位于這k行k列交叉處的k²個元素按其原來的次序組成一個k階行列式，稱為矩陣a的一個k階子式。

若矩陣a中有一個r階子式不為零，而所有r +1階子式全為零，則稱矩陣a的秩為r，矩陣a的秩記作r(a)。

零矩陣的秩規定為零。

秩的性質

r(a)≥r a中有一個r階子式不為零；

r(a)≤r a中所有r+1階子式全為零。

若n階方陣a，有r(a)=n，則稱a是滿秩方陣。

對于n階方陣a，

 

伴隨矩陣