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第六節  滲流、井和集水廊道

大綱要求：土壤的滲流特性，達西定律；井和集水廊道。

一、概述

流體在孔隙介質中的流動稱為滲流，流體主要是水、石油、天然氣等，孔隙介質是指土、巖石等各類的多孔介質和裂隙介質。在土建工程中，滲流主要是指水在地表以下土和巖層中的流動，所以滲流又稱地下水流動。

滲流理論除了應用于水利、石油、地質等部門外，土建方面有：地下水是給水的水源之一，它涉及到水井涌水量和集水廊道等設計和計算；在排灌工程中地下水的變動、渠道的滲漏及壩的穩定等問題；在建筑施工中需要確定圍堰或基坑排水量和水位降低等問題。水在巖層和土孔隙中存在的狀態有：汽態水、附著水、薄膜水、毛細水和重力水。重力水在介質中運動是受重力作用的結果。本節研究的對象是重力水的運動規律。

地下水的運動除與水的物理性質有關外，巖土的特性對水的滲透性質有很大的影響。一般可將巖土分類為：

(一)均質巖土  滲透性質與滲流空間的位置無關。均質巖土又分成：(1)各向同性巖土，其滲透性質與滲流的方向無關，例如沙土。(2)各向異性巖土，滲透性質與滲流方向有關，例如黃土、沉積巖等。

(二)非均質巖土  滲透性質與滲流場空間點位置有關。

下面討論以均質各向同性巖土中的重力水的恒定流

二、滲流的達西定律

達西在1856年對具有矩形橫截面、中間裝滿砂的容器中水流進行實驗研究(圖6-7—1)，得到滲流基本定律。滲流區為勻質柱形，過流斷面面積為a,兩過流斷面間距離為l，其間損失為h_w ，流過過流斷面的流量為q，則有

滲流試驗裝置

q=kaj

或v=kj ，均勻流是u=kj，上式即為達西定律。

式中為水力坡度；v為斷面平均流速，u為斷面上的點速度。

其中k 稱為滲流系數單位與速度單位速度相同為m/s，由于滲流速度一般較小， k也用cm/s，m/h等單位，反應了土壤的滲透能力。

達西定律適用范圍：達西定律適用于雷諾數re=1~10的滲流。

（二）滲透系數

滲流系數k是達西公式中的重要參數。k值的確定關系到滲流計算的精確性。該值的大小取決于多孔介質本身粒徑大小、形狀、分布情況以及水的溫度等，因此要準確地確定其數值是比較困難的。以下簡述測量方法和常見土的有關參數值。

1．經驗公式法  這一方法根據土顆粒粒徑大小、形狀、結構、孔隙率和水溫等參數所組成的經驗公式來估算滲流系數k。這類公式很多，這里不作介紹。

2．實驗室方法  這一方法是在實驗室利用實驗裝置，并通過v=kj計算k。

3．現場方法  在現場利用鉆井或原有井作抽水或灌水，根據井的公式[見后面四單井(一)段中式(b)]計算k。

作近似計算時，可采用表6-7—1中的k值。

三、集水廊道

該公式是將達西定律推廣到漸變流的滲流公式。

（二）集水廊道

集水廊道是建于地下用來汲水或降低地下水位的水平廊道，由于長度很長，可以忽略兩端的影響，而看成是沿軸線方向各斷面流動無變化的二維（或稱平面）滲流流動。圖6-7-2所示，不透水層頂部(或含水層底板)水平。地下水面(包括無壓水的自由表面及有壓水的測壓管水頭面)在集水廊道未排水或抽水前的水面稱地下水天然水面，排入后到達恒定狀態的水面稱動水面，動水面的水面線也叫浸潤曲線。還假定集水廊道開挖到不透水層，于是集水廊道底面不進水。

圖6-7-2

將裘布依公式帶入連續方程得到；

設        為集水廊道單位長度上自一側滲入的單寬流量（b為集水廊道寬度），并考慮到在xoz坐標系中，流線s與x坐標相反，則上式可以寫成：

 

x為計算點到廊道側邊的距離，將上式分離變量并積分

 

 

得到集水廊道單側單寬滲流量為：

式中，l稱為影響范圍，在x≥l的地區天然地下水不受廊道的影響，h為天然地下水位，即含水層厚度；h為廊道中水深。從公式可知：滲流量與滲透系數成正比，并隨含水層的厚度增加而增大，隨廊道內水深增加而減小。

四、單井

在具有自由水面的潛水含水層中所開的井稱為普通井，井底直達不透水層者稱為完全井。未抽水前，井中水面與含水層水面平齊，抽水時井內及其四周的水面下降。若周圍是各向同性的勻質土壤，抽水量恒定，則形成的水面為以井軸線為軸的軸對稱漏斗形曲面，稱為浸潤曲面。如圖所示。

圖 普通完全井

  若流量為q，土壤滲透系數為k，,井中水深為h0，井半徑為r0，則隨半徑r的變化，浸潤的位置高度z符合下面的方程

 

 

此方程為浸潤曲線方程，用于確定沿徑向方向的水深分布。當r=r時，h=h，帶入上式，可得井的滲流量

 

 

 

式中，r稱為井的影響半徑，可有抽水試驗確定，近似計算時可用經驗公式

 

估算，式中s=h-ho,為井中水位降深，以m計，k為土壤滲透系數。

第七節  相似原理和量綱分析

首先看大綱要求：力學相似原理；相似準則，量綱分析法

在實踐中，許多流體流動問題，不是僅靠理論分析就能完全解決的。還需要采用其他分析途徑和實驗方法來求解。實驗通常是在縮小了的模型上，預演或重演原型的流動現象；得到模型實驗成果后，還要將其推廣于原型。這只有在模型流動與原型流動相似的條件下才有可能。所以我們需要研究相似原理和量綱分析以指導實驗。

一、相似的基本概念

要使模型和原型流動相似，如兩個流動的對應點上的同名物理量 〔 流速、壓強和各種力）具有一定的比例關系，就要求模型和原型之間具有幾何相似、運動相似和動力相似。

（一）幾何相似  要求原型和模型的長度比尺一定。各對應長度具有同一長度比尺λ_{l .}

式中λ_l為長度比尺； l_p為原型長度； l_m為與其相對應的模型長度．相應的面積和體積比尺為

   

而且相應的夾角也相等。

（二）運動相似  指流體運動的速度場相似。也就是指原型流動與模型流動兩個流場各對應點的速度u方向相同，大小具有同一速度比尺.

因速度是單位時間的位移，故相應點的流體質點流經相應的流程所需的時間應具有同一時間比尺。

   

    由λ_t和λ_l又可得出速度比尺有下列關系

   

（三）動力相似  原型和模型兩流動各相應點流體質點所受的同名力方向相同，大小應具有同一比尺，即力的比尺一定。

動力相似條件可以寫為

式中f_p、f_g、f_v、 f_i 分別表示壓力、重力、黏性力和慣性力。

因 f = ma = ρva 故λ_f與其他比尺的關系如下

以上這三種相似是相聯系的：幾何相似是運動相似和動力相似的前提和依據，動力相似是決定兩個流動運動相似的主導因素，運動相似是兒何相似和動力相似的結果。

二、相似準則

（一）雷諾準則  黏性力為主的動力相似

作用力是由黏性力引起的阻力和慣性力。如潛水艇在深水下潛航；飛機在空中飛行速度較慢，可以不考慮空氣的壓縮性時；又如管道中的液流等。由式（ 6-8-1 ）動力相似條件有

則動力相似條件為

故當黏性力為主要作用力時，要動力相似必須原型和模型的雷諾數相等。此條件稱為雷諾準則。

（二）佛勞德準則  重力為主的動力相似

如河渠中的水流，堰上水流、孔口出流等等。由式（ 6-8-1 ）有

則重力相似條件為

被稱為佛勞（汝）德數 fr ，但目前多取它的平方根作為佛勞德數即

故當重力為主要作用力時，要動力相似必須原型和模型的佛老德數相等。此條件稱為佛勞德準則。

（三）歐拉準則  壓力為主要作用力的動力相似。由式（ 6-8-1 ）有

則動力相似條件為

令稱為歐拉數，則式（ 6- 8-5）可寫為

當壓力為主要作用力時，要求原型和模型的歐拉數必須相等，才能滿足動力相似條件。這就是歐拉準則。

（四）表面張力相似準則

要保證原、模型任意對應表面張力相似，則由表面張力相似要求有

其中，                為表面張力比尺，   為液體的表面張力系數，

 

 

 

上式也可以寫成

 

 

或（w_e）_n=（w_e）_m

式中              稱為韋伯數，即原型與模型的韋伯數相等，這就是韋伯數準則。

除以上準則外，還有以彈性力為主（考慮流體的可壓縮性）的馬赫準則等等，.

【 例 6-8-1】  水平管道中的水流（ 0 ℃ ），平均流速為 3m / s ，管徑 75mm , 12m 長的管道上，壓強差為 14kpa ，現在用直徑為25 mm 的水平管做模型，管中流動的是汽油 ( 20 ℃ ）, v_m  = 0.006cm²/ s ，ρ_m = 670kg ／m²（ a ）求模型流速應為多少？ ( b ）求 6m 長模型管的壓強差是多少?

【 解 】 有壓管路流動，以阻力為主，用雷諾準則-

( 2 ）求壓強差用歐拉準則

取水的密度ρ_p  = 1000 kg/m³

4m 長模型管道上的壓強差為 9.415kpa , 則 6m 長模型管上的壓強差為:

三、量綱分析

量綱分析方法是根據量綱和諧原理來推求各物理量之間的關系的方法.

（一）物理方程的量綱和諧原理

量綱標志了不同性質物理量的類別，而單位則是量度各物理量數值大小的標準。如長度是量綱，而米、厘米、毫米等單位均屬長度這一量綱。具有獨立性的，不能從其他量綱導出的稱為基本量綱．在流體力學中常采用長度［ l 〕 、時間 〔 t ］、質量［m］作為基本量綱。其他物理量的量綱可以由基本量綱導出，稱為導出量綱．常見的物理量的量綱如下（除了基本量綱） :

凡是正確反映客觀規律的物理方程，其各項量綱都必須是一致的．或者說物理方程等號兩邊量綱必然相等。這就是量綱和諧原理既然物理方程具有量綱和諧性，必然可以寫成無量綱形式，量綱分析法中就常常組成無量綱方程的形式.

（二）量綱分析法

根據量綱和諧原理，分析物理量之間的關系，推導和驗證新方程的過程稱為量綱分析。基本的分析方

法有兩種：雷利法和π定理法

1 雷利法  直接應用量綱和諧原理進行量綱分析。

【例6-8-2】  試應用雷利的量綱分析方法推求圓柱體繞流的阻力d的表達式。已知圓柱直徑為d，來流流速為uo，流體密度為ρ，流體的動力黏性系數為μ。

【解】 (1)  與d有關的物理量為d、uo、ρ、μ，它們之間存在著函數關系：d = f (d，uo，ρ，μ)

(2)  將阻力d寫成d、uo，ρ，μ的指數乘積形式：

(3)  將上式寫出量綱形式

(4)  根據量綱和諧原理，方程兩邊量綱相等，寫出求各未知指數的方程，并求解；

以上3個方程有4個未知數，不可能全部解出，保留δ，用它表示其余指數α、β、γ得

(5)  阻力公式的形式  將求得的指數代人指數乘積形式的阻力公式中，有

雷利法對于物理量個數n≤4～5的情況是方便的，否則，指數難以確定。

2．應用π定理進行量綱分析

量綱分析法的更為普遍的理論是著名的π定理，它的基本內容可概括為：任何一個物理過程，如包含有n個物理量，涉及到m個基本量綱，則這個物理過程可由n個物理量組成的(n一m)個無量綱量所表達的關系式來描述．因這些無量綱量用x來表示，就把這個定理稱為π定理。

設影響物理過程的n個物理量為x₁，x₂，……x_n 則這個物理過程可用一完整的函數關系式f (x₁，x₂，……x_n ) = 0來表示。設這些物理量包含有m個基本量綱，則可將n個物理量組成n一m個x，該物理過程可表示為