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第三節　流動阻力和能量損失

大綱要求：沿程阻力損失和局部阻力損失；實際流體的兩種狀態-層流和紊流；圓管中層流運動；紊流運動的特征；減小阻力的措施。

在第二節中我們討論了能量方程，但并未討論能量方程中由于流動阻力所產生的能量損失．在第一節中曾經指出，水、空氣等都是有粘性的，因而將產生流動阻力。流體在固體壁面的約束下流動，如管流或明渠流等稱為內部流動，此時流體要流動就必須克服阻力做功，由此產生能量損失。流體繞固體流動或者說固體在流體中運動時，稱為外部流動，如風吹過煙囪或顆粒在流體中上升或沉降，此時氣流受到煙囪的阻力或者顆粒受到流體的阻力都是粘性阻力，稱為繞流阻力。

本節主要討論內部流動的能量損失及計算方法；對繞流阻力僅作簡單介紹。

由于流動有層流和紊流兩種流態，不同流態的能量損失的規律是不同的。所以下面還將討論以上兩種流態。

一、流動阻力和水頭損失的分類-

根據流體流動的邊界條件不同，流動阻力和水頭損失可以分為兩類。當流體受邊界限制做均勻流動（如斷面大小、流動方向沿程不變的管流）時，流動阻力中只有沿流程不變的摩擦阻力，稱為沿程阻力或摩擦阻力，由于沿程阻力做功所引起的水頭損失，稱為沿程水頭損失，以 h_f 表示。當流體經過邊界急劇變化處，由于邊界的改變引起斷面流速的大小、方向、流速分布發生急劇變化，還有漩渦區的形成，這種集中發生在較短范圍的阻力稱為局部阻力，相應的水頭損失稱為局部水頭損失，以 h_j 表示.

沿程水頭損失的計算公式（達西公式） :

式中 l —— 管長．

d一一 管徑．

v —一 斷面平均流速；

γ—― 沿程阻力系數.

局部水頭損失的計算公式

式中——局部阻力系數。

二、實際流體的兩種流態 ― 層流和紊流-

（一）雷諾實驗

雷諾1883年曾經以圖 6-4-1 的裝置來進行實驗，揭示了兩種流態不同的本質并確定圓管流態的判別數。

打開玻璃管的調節閥，玻璃管中水開始流動再打開顏色液的小閥，顏色水將進人玻璃管，與水一起流動．當管中平均流速v較小時，顏色液呈一直線狀（如圖 6-4-1 中 a ) , 與周圍清水互不摻混，這種有規則的分層流動被稱為層流。隨著v的增大，顏色液將產生波動，直到某一數值，顏色液擴散到清水中，不復再見（見圖 6-4-1 中 b）。這時，兩者已互相摻混，每個流體質點的軌跡是十分混亂的，這種流態被稱作紊流。此時若再將流速減小，必須減小到比前一臨界值更小的數值，流態才會轉變為層流。層流和紊流由于兩者內部結構不同，能量損失的規律也不同。由實驗得到：等徑直管上下游斷面間的水頭損失，層流時與斷面平均流速的一次方成正比，即 h_f  v^1.0 ;紊流時則與流速的 1 .75 – 2.0次方成正比，h_f  v^{1.75- 2.0}。

（二）層流和紊流的判別數 ― 雷諾數

由于層流和紊流水頭損失的規律不同，在計算水頭損失前，必須判別流態。流態的確定除了與流速的大小有關外，還與管徑和流休的粘性有關。因此采用綜合性的雷諾數 r_e作為判別流態的無量綱數。

式中 υ、 d 、ν分別為流速，管徑和流體的運動黏性系數。

實驗證明，由紊流轉變到層流的下臨界雷諾數是相當穩定的 re_c = 2000 。而從層流轉變到紊流的上臨界雷諾數 r_ec'卻與實驗環境的擾動的大小有關，自 4000 - 2 0000 之間變化，所以取 re_c 作為判別的依據。re ≤ 2000是層流狀態。 re > 2300 /2000可以認為是紊流狀態。

對于非圓管中的流動，雷諾數計算中特征長度 d 可以用水力半徑 r 或當量直徑 d _當來代替

式中 a ― 過流斷而面積；

x 一濕周，指過流斷面上與流體相接觸的那部分固體邊界的長度

【 例 6-4-1】  內徑 d = 6mm 的水管，水溫 20 ℃ ，管中流量為 0 021 / s ，試判別流態 . 若管中通過的是v = 2. 2×10^{- 6} m² ／ s 的油，流量仍為 0.021 / s ，流態如何？

 

三、圓管中的層流運動-

（一）均勻流動方程式

取一段等直徑圓管中的恒定均勻流來討論，見圖 6-4-2 。均勻流動中的能量損失只有沿程不變的切應力產生的沿程損失，用 h_f表示。

對 l 一 1 和 2 一 2 斷面寫能量方程：

再取 1 一 1 和 2 一 2 斷面之間的流體寫出動量方程:

式中， a 為圓管斷面面積， χ為斷面上流體與固體壁面相接觸的周界長度。

將 lcosθ= z₁ 一z₂ 代入上式并將各項除以ρga得

式中 j 為水力坡度。見式（ 6-3-9 ）。

式（ 6-4-6 ）或式（ 6-4-7 ）給出了沿程水頭損失與切應力的關系，即為均勻流動方程式。

以上是取半徑為r₀的流段來討論的，其邊界上的切應力為 τ₀ ，若取半徑為 r 的流段，邊界上的切應力為 τ，同上可有

說明在圓管均勻流的過流斷面上，切應力呈直線分布，管壁處切應力最大為τ₀，管軸處切應力為零

 

 

（二）圓管中的層流運動-

對于圓管將dy改為 dr ，又因 du 與 dr符號相反，將上式改寫為

與式（ 6-4-8 ）聯立可得:

從以上的推導得出的結論是:圓管中的層流，斷面上流速分布是旋轉拋物面。平均流速是最大流速的一半.

式中γ― 沿程阻力系數.

所以，從圓管中層流的推導得到的又一個重要結論是：圓管中層流的水頭損失只與雷諾數有關，而與管壁條件無關。且水頭損失與流速的一次方成正比。

 

四、紊流運動的特征

紊流中，流體質點在運動中不斷互相混雜，使各點的流速、壓強等運動要素都隨時間作無規則的變化，這種變化稱為脈動現象。圖 6-4-3 表示紊流中某點x方向速度 u_x 隨時間 t 變化的曲線。同樣也可測出該點u_y、u_z和 p 隨時間的變化曲線。看起來這種變化迅速而無規律，使對紊流的研究十分困難。但經深人分析可知，這種脈動是圍繞某一平均值而變化的這樣，可以將紊流看作兩個流動的疊加。即時間平均流動和脈動的疊加。某點在某一瞬時x方向的速度 u_x 就等于時間平均速度和該瞬時脈動流速_x的代數和。即

 

    引人時間平均流動的概念后，盡管紊流實質上是極無規則的非恒定流，但只要它的時均值是一常數就可以將它看成恒定流。或者它的時均值隨時間遵循某一規律變化，就可看作是隨時間遵循某一規律變化的非恒定流（如水箱中水無補給時，經水箱孔口的出流） , 而且前面提到的概念，如流線、斷面平均流速等等對于時間平均流動仍可照常應用。但對于紊流的切應力、紊流擴散等問題的研究卻必須考慮紊流的脈動.

紊流中的切應力除了由于黏性所產生的切應力外，由于質點互相摻混、動量的交換，還存在著紊流的附加切應力，又稱為雷諾應力。

τt為紊流附加切應力即雷諾應力。經分析可得：τt =   但等脈動流速難以求出。為了找到由于脈動所引起的紊流附加應力與時均流速的關系，普朗特提出半經驗的混合長度理論，推導出：

式中 l ― 混合長度，流體質點因橫向脈動流速作用，橫向運動一段距離后，才與周圍質點進行動量交換．混合長度即與此距離有關。

一 時均流速梯度.

當雷諾數較小時，以黏性切應力τv為主。隨 re 的增加，紊流附加切應力τ_t在τ中的分量逐漸增大，至雷諾數相當大時，粘性切應力甚至可以忽略不計。

由紊流的半經驗理論可以得到沿邊界法線方向的流速分布為對數函數

式中，直接反映邊界上的切應力τ₀，因具有速度的量綱，故稱為剪切速度；y為離圓管壁的距離；k 為卡門通用常數；c由邊界條件確定.為積分常數。

紊流的流速分布，靠近固體邊界處與核心區域是不同的。緊貼邊界的流體質點流速為零，近邊界處流速顯著減小，在邊界附近存在著很薄的黏性底層。在黏性底層內流速分布可作為直線分布。而紊流核心區域內由于質點相互摻混和動量交換，使速度趨于平均化。此外依據試驗資料還提出了紊流流速分布的指數公式：如在re = 1.1×10⁵時

式中 r₀ 為圓管半徑． y 為流速為 u 的點至壁面的距離。-了解一下就可以了。

黏性底層的厚度隨 re的增大而減小，它雖然很薄，但對能量損失影響很大.

五、沿程水頭損失

流體作均勻流動時，切應力沿程不變，單位長度的能量損失相等，這種損失稱為沿程損失，它的大小與長度成正比，用 h_f 表示。式（ 6-4-6 ）已說明了切應力和沿程水頭損失的關系。該式不僅適用于層流也同樣適用于紊流。對于圓管中的層流，通過理論分析，我們已得到了沿程水頭損失的計算公式即式（ 6-4-13 ) ，對于紊流，由于完全由理論分析難以求出沿程水頭損失的公式。我們借助于因次分析，同樣可以得到同一形式的沿程水頭損失的計算公式:

這里只是λ有所不同。式 (6-4-18 ）是管流的通用公式.

與層流不同的是λ為雷諾數及管壁相對粗糙度△/d 的函數。△為管壁上的粗糙突起高度。對于紊流，無法像對圓管中的層流一樣推導出λ，只能依靠實驗研究。最初由尼古拉茲在實驗室中對人工粗糙管（即管壁均勻地黏上一定粒徑的沙子的圓管）測出λ與 re和△/ d 的變化規律。以后許多人又做了矩形渠道和工業管道的實驗，總結出不少經驗公式其中考爾布魯克公式(柯列勃洛克公式)

了解這個公式就行了

是根據大量工業管道的試驗資料提出的。為了簡化計算，莫迪在此公式基礎上繪成曲線（圖 6-4-4 ）稱莫迪圖。從莫迪圖中可以看到：其中橫坐標和縱坐標都是按對數分格的，稱為雙對數格紙，這樣畫出來的λ- re曲線圖形即為 1gλ一 1gre的曲線圖形。按圖中曲線可分為五個阻力區，不同區阻力系數的規律不同.

1 層流區： re ≤2300 時,各種不同相對粗糙度的管道的沿程阻力系數λ=  . 這個結果與前面理論推導完全一致，即λ僅與 re有關.

2 臨界區（層流一紊流的過渡區） : 2300 < re < 4000 。此區域由于數值不穩定，研究較少．圖中僅用斜線表示。

3 光滑區：圖中表示為左下方的包絡線。在此區內由于粗糙突起高度被黏性底層所覆蓋，對阻力系數λ沒有影響，λ仍僅與 re有關。

4 紊流過渡區：圖中表示為光滑管區至虛線之間的區域。隨 re的增大，黏性底層厚度減小，粗糙突起高度開始發生影響。在該區內λ與 re 及 △ ／ d 都有關系。λ= f（ re ， △ ／d）.

5 粗糙區（阻力平方區）：圖中虛線以右的部分。曲線呈水平線，即λ僅與 △ ／ d 有關，與 re 沒有關系。因為此時黏性底層已減小到即使 re再增大也不能對流動阻力有什么影響了。

使用莫迪曲線求沿程阻力系數十分簡便，查圖的精度基本上能滿足工程上的需要。圖中的 △ 并非簡單的粗糙突起高度，而是工業管道的當量粗糙度，即是指和工業管道同直徑，且在紊流粗糙區人值相等的人工粗糙管的粗糙突起高度。常用管材的當量粗糙度見表 6-4-1 。

【 例 6-4-2 】 新鑄鐵管，長 500m ，內徑為 150mm ，所輸水的溫度為 10 ℃ ，流量為 40l / s 。求水頭損失

【 解】水溫 10 ℃ 由表 6-1-2 查得水的黏性系數，v = 1. 308 × 10^-6m²／ s .

新鑄鐵管，查表 得 △ = 0. 25 ～0.4mm ，取 △ = 0. 3mm

由 re和△ ／ d在圖 6-4-4 莫迪圖上查得λ= 0.0 242 （曲線 △ ／ d = 0.002 與豎線 re = 2.6 ×10⁵的交點的λ值），在紊流過渡區內．

除查莫迪圖求λ外，也可用經驗或半經驗公式計算。上述式（ 6-4-19 ）是紊流過渡區的公式，也可適用于光滑區和粗糙區，但計算很不方便。與它相近的下面兩個公式也同樣適用于整個紊流各區，計算則較為簡便。

以上公式均為有關管流沿程水頭損失的公式。對于明渠水流，式（ 6 -4-18 ）中的 d 用當量直徑d_當 [ 見式（ 6-4-4 ）式（ 6-4-5 } ］代替，也可適用但習慣上采用另一公式：

式中 v為斷面平均流速; r為斷面的水力半徑 [r = 式（ 6-4-4） 〕 ；j為水力坡度。c為謝才系數，為一個具有量綱的系數。式（ 6-4-22 ）稱為謝才公式.x為濕周。

在紊流粗糙區，謝才系數可直接由經驗公式算出:

式中   r ― 水力半徑，以米（ m ）計.

n ― 糙率，綜合反映壁面粗糙情況的無量綱數，見表 6-4-2 .

六、局部水頭損失

局部水頭損失按式（ 6-4-2 ）（截塔）計算，關鍵在于確定局部阻力系數ζ.從理論上講 ζ 應與局部阻礙處的雷諾數 re和邊界情況有關。但因受局部阻礙的強烈干擾，局部阻礙處的流動在較小的雷諾數時就已進入粗糙區，所以一般可以認為ζ只決定于局部阻礙的形狀，與  r e無關。局部阻礙的形式繁多，流動現象極其復雜，局部阻力系數多由實驗確定。表 6- 4-3 中列出了常見的幾種局部阻力系數ζ值。

其他各種局部阻力系數可查閱有關水力計算手冊。

【 例6-4-3 】 水流經虹吸管從 a 水池流人 b 水池，如圖 6-4-5 所示，管徑 d =100mm ，管長 l = 30m ，管材為鍍鋅鋼管 △ = 0. 3mm ，ζ彎 = 0. 75 ，兩水池水面差為 4m 。求通過虹吸管的流量．（水溫為 15 ℃ ）

【 解 】 取兩水面分別為 l 一 1 和 2 一 2 斷面，寫能量方程

h + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 ＋ h_w

因 re 不知，雖已知 △ ／ d =  = 0.03 仍不能確定λ值，所以先假設λ= 0.025 .由表 6-4-3 查得ζ_進 = 0. 5  ζ_出 = 1.0 ,

解得v ＝ 2 .733 m/ s

驗算λ假定是否正確：由表 6-1-2 查得v = 1. 14l × 10^-6 m ²/ s ,

七、減小阻力的措施

較小阻力的措施：在物理方面，改善邊壁的的粗糙度，用柔性邊壁代替剛性邊壁，用漸變段代替突變段；盡量采用流線型、圓角形等平順的管道進口；對彎管，盡量減少轉角，增加△ ／ d以及兩個局部阻礙之間的合理銜接等，在化學方面，在流體內投加極少量的添加劑，使其影響流體運動的內部結構來實現減阻，如高分子聚合物減阻等。

八、邊界層基本概念和繞流阻力

（一）邊界層的基本概念

在黏性流體繞固體的流動中，當雷諾數相當大時，緊貼固體表面的流體與壁面之間沒有相對運動。稍微離開壁面的流體層受其影響速度也較小．在壁面的外法線方向上流體的流速由零開始迅速增大，在壁面附近形成了一層流速梯度很大的區域，稱為邊界層。在邊界層中，黏性力是不能忽略的。而在邊界層外則可以看作是理想流體的流動。一般情況下邊界層是很薄的，黏性作用被限制在一薄層中，比較容易得到解決．邊界層以外的廣大區域中的流動又可按理想流體流動來求解。這樣就簡化了復雜的黏性流體流動，推動了流體力學的發展。

圖 6-4-6 表示了二元平板繞流的邊界層。板上游為均勻來流，流速為 u 與平板平行。可以看到：邊界層厚度ζ是沿流發展的，在板端為零，隨后沿流逐漸增加。邊界層與主流實際上并沒有明顯分界，通常規定速度到達0.99 以外為邊界層的外緣。在雷諾數較高時，邊界層是很薄的，一般遠小于被繞流物體的特征長度。因此沿壁面法線方向速度梯度很大，必須考慮流體的粘性。但壓強沿壁面法線方向可以認為是不變的。邊界層也有層流和紊流之分如圖 6-4-6 所示，在平板的前段是層流狀態，隨著 re_x = 的增加，層流邊界層將逐漸過渡到紊流狀態對于光滑平板，臨界雷諾數 re _x = 3 × 10⁵ 一 3 ×l0⁶ ．即使在紊流邊界層內，近壁處仍有一黏性底層

（二）邊界層的分離現象

上述平板邊界層不出現邊界層與壁面脫離的分離現象。但當黏性流體繞過彎曲壁面時，在逆壓梯度（＞0）的情況下，邊界層流動速度減小.。在黏性摩擦力和反向壓差的雙重作用下，邊界層厚度增長更快，近壁流速愈小，最后導致近壁處流向改變在下游出現近壁的回流，使邊界層脫離壁面，見圖 6-4-7 。邊界層與壁面開始分離的點稱為分離點。過分離點后的回流稱為尾流，常伴隨著漩渦。

邊界層的分離和漩渦區的存在是造成局部損失的主要原因。因為漩渦區的存在大大增加了紊流的紊動程度；漩渦區壓縮了主流的過流斷面，引起過流斷面上流速重新分布，流速梯度增大了，也就增大了流層間的切應力；漩渦區內部不斷消耗的能量，也是來自主流，同時下游一定范圍的紊流脈動也將加劇，從而加大了這段長度上的水頭損失。

（三）繞流阻力

在外部流動中，黏性流體繞物體流動或物體在流體中運動，物體受到的阻力稱為繞流阻力。繞流阻力可分為摩擦阻力和壓差阻力。摩擦阻力是作用在物體表面上的切應力在來流方向的總和。壓差阻力是物面上壓應力的合力在來流方向的分量。主要是由于邊界層分離后尾流區壓強降低引起上游面和下游面的壓差形成的。所以壓差阻力由物面形狀決定，也稱形狀阻力。

各種形狀物體的繞流阻力 d 由下式確定：

式中   a 為繞流物體在垂直于來流速度方向的最大投影面積；ρ為流體密度；u₀為來流

速度（相對于繞流物體的速度）；c_d為繞流阻力系數，圓柱和球的阻力系數見圖 6-4-8.

   

【 例6-4-4 】 圓柱形煙囪高 l = 30m ，直徑 d = 1.2m ，水平風速u₀ = 12m / s .空氣ρ=  1.2kg ／m³，v = 15×10^-6m² / s . 求煙囪所受風的推力。

查圖 6-4-8 ( b ）得 c_d =  0.30