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第六章　流體力學

第一節　流體的主要物性和流體靜力學

本節大綱要求：液體的壓縮性與膨脹性；流體的粘性與牛頓內摩擦定律；流體靜壓強及特性，重力作用下靜水壓強的分布規律；作用于平面的液體總壓力的計算。

一、流體的連續介質模型

流體包括液體和氣體。物質是由分子組成的，流體也是一樣，分子間存在間距，且這些分子不斷地作無規則的熱運動，分子之間又存在著空隙。而我們所討論的流體并不以分子作為對象而是以一個引進的連續介質模型進行研究：認為流體是由連續分布的流體質點所組成的。或者說流體質點完全充滿所占空間，沒有空隙存在。描述流體運動的宏觀物理量．如密度、速度、壓強、溫度等等都可以表示為空間和時間的連續函數，這樣，就可以充分利用連續函數來對流體進行研究，不必考慮其微觀的分子運動，只研究流體的宏觀的機械運動。

二、流體的慣性、質量和密度

慣性就是物體所具有的反抗改變原有運動狀態的物理性質。表示慣性大小的物理量是質量。質量愈大，慣性愈大，運動狀態愈難改變．

單位體積內所具有的質量稱為密度，以ρ表示。對于均質流體

式中 m 為質量，以千克（kg）計．v 為體積，以立方米（m³）計。所以ρ的單位為kg/m³

密度與溫度和壓強有關，表 6- 1-1 列出了在標準大氣壓下幾種常見流體的密度值。

三、流體的壓縮性和熱脹性

在壓強增大時，流體就會被壓縮，導致體積減小，密度增加；而受熱后溫度上升時，流體的體積會增大，密度會減小，這種性質稱為流體的壓縮性和熱脹性。

流體的壓縮性指流體體積隨壓強而變的特性。壓強增大，流體體積減小。通常以壓縮性系數β來表示液體的可壓縮性.

（6-1-2）

式中為體積的相對減小量；

dp 為壓強的增量。

體積彈性系數 k 為β的倒數

（6-1-3）

β的單位為 m² / n , k 的單位為 n/m²．對于不同的液體，β 或 k 值不同；同一種液體，不同溫度和壓強下， β 或 k 值也不同。水的 k 值很大，常溫下近似為 2.1 × 10⁹ pa （帕）。也就是說，當壓強增加一個大氣壓時，水的體積只縮小萬分之零點五左右，其他液體的 k 值也很大。所以一般清況下可以不考慮液體的壓縮性，認為液體的密度為常數。

熱脹性：

液體的熱脹性，一般用膨脹系數α表示，與壓縮系數相反，當溫度增dt時，液體的密度減小率為

，熱膨脹系數α=，α值越大，則液體的熱脹性也愈大。α的單位為1/k.

對于氣體，其密度與壓強變化和溫度變化密切聯系，有著顯著的壓縮性和熱脹性，可以根據氣體狀態方程= rt來說明它的變化。

式中：p為氣體的絕對壓強，單位是pa，r為氣體常數，單位是j/(kg.k),r=8314/n,其中n為氣體相對分子質量；t為熱力學溫度，單位是k。

四、流體的粘性

流體在靜止時不能抵抗剪切變形。但當兩層流體之間有相對運動時，在它們的接觸面上就會產生內摩擦力：運動快的流層對運動慢的流層產生拖動作用．運動慢的流層對運動快的流層產生阻力。這種內摩擦力起阻止流體內部相對運動的作用。流體具有內摩擦力的特性就是流體的粘性。或者說粘性就是流體具有抵抗剪切變形的能力。由于流體的粘性，流體在運動過程中必須為克服內摩擦力而做功，由此導致能量損失，從而使流體的運動變得更為復雜。

根據牛頓內摩擦定律．流層間的內摩擦力 t 的大小與流體的性質有關，并與流速梯度和接觸面積a成正比，與接觸面上的壓力無關。 即

（6-1-4）

以切應力表示為

    （6-1-5）

式中   μ一一黏性系數或黏度，或稱動力黏性系數（動力黏度），以帕· 秒（ n.s / m²）為單位；

du——兩流層間的速度差（見圖 6-1-1 );

dy—― 兩流層間的距離,為速度在垂直于速度的方向上的變化率，也稱為速度梯度。可以證明，流速梯度代表了角變形速度。因此牛頓內摩擦定律說明了流體的切應力與角變形速度成正比。

    黏性系數μ反映了流體黏性的大小，不同種類的流體μ值不同，同種流體的μ值也隨溫度而變化：液體的μ值隨溫度升高而減小; 氣體的μ值隨溫度升高而增大。在實用范圍內μ值可以認為與壓強的變化無關。在流體力學中還常常出現μ/ρ的形式，我們將它稱為運動黏性系數（運動黏度），用ν表示：

    （6-1-6）

    ν的單位為m²/ s 或 cm²/ s ．

并不是所有流體都符合牛頓內摩擦定律的。有些流體不滿足切應力與角變形速度成正比的關系，或者說它們的μ值并非與τ無關；這些流體如泥漿、油漆、接近凝固的石油等等被稱為非牛頓流體，而符合牛頓內摩擦定律的流體如水、空氣等則稱為牛頓流體。本教材中只討論牛頓流體.

五、作用在流體上的力-

流體的機械運動是由外力作用引起的，為了便于研究流體平衡和運動的規律，我們將作用在流體上的力分為質量力和表面力兩大類。

質量力作用于流體的每一個質點上，其大小與受作用流體的質量成正比。常見的有重力、慣性力。對于均質流體，質量與體積成正比，故質量力與流體體積成正比，又稱為體積力．單位質量流體上所受到的質量力稱為單位質量力

式中m——流體的質量；一一總質量力；x = ，y= ，z =  ，分別為在x、y、z軸方向的投影，其單位為米／秒²  ( m / s² ) ，與加速度的單位相同.

表面力作用于流體的表面上：包括液體的自由表面，流體與固體間的接觸面，以及所取流體脫離休的表面。根據作用力的方向，表面力又可分為垂直于作用面的壓力和平行于作用面的切力兩種。

設在脫離體表面上任一點取一微小面積△a （圖 6- 1-2) , 所受壓力和切力分別為△p和△t ，則該點的壓強p和切應力 τ 為：

   

【 例 6-1-1 】 一平板在油面上做水平運動，如圖 6-1-3 所示，已知平板而積 a = 1 m²，油層厚度δ= 2mm ，油的動力黏性系數μ= 0. 1 pa ·s ，平板運動速度 υ = 50cm / s ，求拖動平板所需的力.

【 解 】 由牛頓內摩擦定律 –

            

對于厚δ的油層來說，上面與平板接觸的油層粘附在平板上，運動速度與平板相同。底面油層粘附在固定底板上，速度為零。

 

六、　流體靜力學

流體靜力學研究流體處于靜止狀態下的力學規律及其在實際工程中的應用。靜止狀態下流體質點間不存在相對運動，因此也沒有切應力，這樣，流體靜力學主要是研究壓強在空間的分布規律以解決求點壓強及面壓力的問題。

（一）、流體靜壓強的特性

靜止流體中，表面力中只有壓力，由式（ 6-1-8 ）知

p 表示當△a收縮至一個點時為該點的流體靜壓強。

流體靜壓強p有兩個特性：

（1）流體靜壓強垂直于作用面，并指向作用面的內法線方向.

（2）靜止流體中任意點的靜壓強與受壓面的方向無關。即同一點各方向的流體靜壓強大小相等。（證明過程不在這里詳細說明了）

（二）、重力作用下的液體靜壓強的分布規律

下面討論作用在液體上的質量力只有重力時靜壓強的分布規律.

（1）液體靜力學的基本方程

在靜止液體中，任取一微小圓柱體，柱體長為 dl ，端面積為 da 并垂直于柱軸線，如圖 ( 6-2-2 ）所示。作用在柱體上的表面力有兩端面的壓力及側面的壓力，端面壓力 p_lda 及p₂da 是沿軸向的．側面壓力是垂直于軸的，故在軸向沒有分力。作用在柱體上的質量力只有重力 g ，它與軸夾角為a.

寫出微小圓柱體軸向力的平衡方程：

式（ 6-2-3 ）即重力作用下的靜力學基本方程，它表示了在靜止液體中，壓強隨深度按直線變化的規律。不論盛液體的容器形狀如何復雜，只要知道液面壓強 p₀和該點在液面下的深度 h ，就可用靜力學基本方程求出該點壓強。方程還表明，靜止液體中任一水平面上，各點壓強相等。即水平面是等壓面。

（2）絕對壓強、相對壓強、真空值

以絕對真空為零點起算的壓強稱絕對壓強，以p_abs表示；以當地大氣壓 p_a為零點起算的壓強稱相對壓強，以 p 表示.

某點的真空值指該點的絕對壓強p_abs不足于當地大氣壓強 p_a的值。絕對壓強、相對壓強、真空值之間的關系如圖 6-2-3 所示。

壓強的計量單位常用的有: 1 應力單位： n / rn² ( pa ) , kn / m² ( kpa ) ，如壓強很高也可用 mpa（ 1 mp = 10⁶ pa ）。 2 液柱單位：有 mh₂o （米水柱） , mmh₂o （毫米水柱）或 mmhg （毫米汞柱）。將液柱單位乘以該液體的ρg（密度× 重力加速度）即可得到應力單位。 3 大氣壓單位：物理學上，一標準大氣壓（ atm ）相當于 760mm hg ，工程上為便于計算，采用工程大氣壓（ at） ，一工程大氣壓相當于 10mh₂o ，即

【 例 6-2-l 】如圖 6-2-4 所示密封水箱，自由表面的絕對壓強為 p₀ = 78. 4kpa ，水深 h₁ = 0.5m , h₂ = 2.5m 。試求 a 、b兩點的絕對壓強、相對壓強和真空值（設當地大氣壓強為 98kpa ）。

【 解 】 利用 p = p₀＋ρgh得 a 、 b 兩點絕對壓強

a、 b 兩點的相對壓強為

由式（ 6-2-5 ）得 a 點的真空值為

（3）位置水頭，壓強水頭和測壓管水頭

由式（ 6-2-2 ）可得

式中: z 為任一點在基準面以上的位置高度（基準面為任選的水平面） , p /ρg為測壓管高度，又稱壓強水頭，兩者之和 ( z ＋)稱為測壓管水頭 。 式（ 6-2-6 ）表明，靜止液體中，各點測壓管水頭相等。見圖 6-2-5。

【 例 6-2-2 】 為了測量密度為 ρ 的流休中一點 a 的壓強，利用圖 6-2-6 所示 u 形測壓計來量測，設測壓計中工作流體的密度為，測得高度 h₁， h₂，求 p _a。

【解】 過ρ與兩種液體的分界面 b 作水平面 bc 。p_b= p_c

【例 6-2-3】應用水銀壓差計來測定 ab 兩點的壓強差的裝置如圖 6-2-7 所示。已知 z_a一 z_b = △h，并測得壓差計讀數 h 。試求p_a一p_b = ?

【 解 】 過ρ與ρ_hg 兩液體分界面 c 作水平面 cd. p_c = p_d

應用靜力學基本方程時，首先應找等壓面，在重力作用下，等壓面一定是水平面。但不是由同種液體連通的水平面上的點，壓強是不同的。例如圖 6-2-7 中的 e 與 f 點.

【 例 6 -2-4 】  兩種容重不同互不混合的液體，在同一容器中處于靜止狀態，一般是重的在下，輕的在上，兩種液體之間形成分界面，試證明這種分界面既是水平面又是等壓面。

【 解 】 如圖 6-2-8 所示，設分界面不是水平面而是傾斜面，如圖中虛線所示。在分界面上任選 1 , 2 兩點，其深度差為 △h，從分界面上、下兩方分別求其壓差為

       

因ρ₂＞ρ₁、ρ₂一ρ₁＞ 0 ，要滿足上式必然是△h = 0即分界面是水平面。將△h = 0代人，得 △p = 0 ，所以分界面就是等壓面。

 

 

三、靜止液體作用在平面上的總壓力

圖 6-2-9 中 ab是與水平面成a角的一個傾斜平面的投影線，右面的圖形為 ab 面的實際形狀。設在受壓面 ab 上任取一微小面積 da ，其中心在液面下的深度為h ，則作用在 da 上的壓力為：

作用在 ab平面上的液體總壓力

式中  h_c —― 受壓面形心 c 在液面（相對壓強為零的自由表面）下的深度；

a ―— 受壓面的面積；

ρ一一 作用在受壓面上的液體的密度；

p_c—― 受壓面形心的壓強，一般用相對壓強。這樣求出的總壓力為液體作用在受壓面的總壓力，不包括大氣壓強對該平面的壓力。

   

如果繪出 ab 面上的壓強分布圖，見圖 6-2-10 ,

就等于壓強分布圖的體積。當ab 受壓面為任意圖形時，壓強分布圖為  以 ab 為底ρgh為高的截頭棱柱體，其體積可用式（ 6-2-7 ）求出。但若 ab 面為 b ×h的矩形（ b 為水平線），以上截頭棱柱體又可視作以壓強分布圖為底、頂， b 為高的棱柱體體積。可以更為直觀地計算出作用在矩形受壓面上的總壓力。設壓強分布圖面積為ω（圖中為梯形），則 p =ω· b

液體總壓力的作用點（壓力中心）位置可用合力矩定理確定。取圖 6-2-9 上的ox為力矩軸，微小面積 da 上的液體壓力對ox軸的力矩

將對ox軸的慣性矩轉化為對通過受壓面形心c且與ox軸平行的c軸的貫性矩：

可求得壓力中心的公式

式中 y_d ——― 壓力中心 d 沿 y 軸方向至液面（ox軸）的距離；

y_c  ——― 受壓面形心 c 沿 y 軸方向至液面（ ox軸）的距離；

i_c   ——― 受壓面對c軸的慣性矩。

【 例6-2-5 】 一鉛直矩形閘門（圖 6-2-11 ) ，已知 h₁ 為 lm ；h₂為 2m ，寬 b 為 1.5m , 求總壓力及其作用點。

【例 6-2 – 6】  圖 6-2-12 所示矩形閘門 ab ，門寬 b = 2m ，求總壓力及其作用點。

 

 

四、靜止液體作用在曲面上的總壓力

在工程中常常會遇到曲面受壓問題，如弧形間門，圓柱形油箱等。作用在曲面任意點的液體靜壓強都沿其作用面的內法線方向垂直于作用面，但曲面各處的內法線方向不同，彼此互不平行，也不一定交于一點。因此，求曲面上的總壓力時，一般將其分為水平方向和鉛直方向的分力分別進行計算。現研究二向曲面（如柱面、圓弧曲面） ab 上的液體總壓力。圖 6-2-13ab 為垂直于紙面的柱體，長度 l ，受壓曲面 ab ，其左側承受液體的壓力。設在曲面土，深度 h 處取一微小面積 da ，作用在 da 上的壓力 dp= pda = ρghda ，該力垂直于面積 da ，并與水平面成夾角a，此力可分解成水平分力 dp_x= dpcosa = ρgh dacosa和垂直分力 dp_z= dp sina =ρgh dasina .因為 dacosa 和dasina 分別等于微小面積 da 在鉛直面和水平面上的投影．令 da_x = dacosa， da _z = dasina，所以 dp_x =ρgh da_x 及 dp_z=  ρgh da_z ，經積分可得：

式（ 6-2-9 ）右邊的積分等于曲面 ab 在鉛直平面上投影面積 a_x 對液面的水平軸 oy 的靜矩. 設 h_c 為 a _x 的形心在液面下的淹沒深度，則

可見，作用于曲面上的液體總壓力p的水平分力p_x等于該曲面的鉛直投影面上的總壓力。因此，可以引用求平面總壓力的方法求解曲面上液體總壓力的水平分力。

式 （6-2-10）右邊的 hda_z , 是以 da_z 為底面積，水深h為高的柱體體積。hda_z即受壓曲面 ab 與其在自由面上的投影面積cd這兩個面之間的柱體體積 abcd ，稱為壓力體，以 v 表示。所以

這就是說，作用于曲面上液體總壓力p的鉛直分力p_z等于其壓力體內的液體重量。可見正確繪制壓力體是求解鉛直分力的關鍵.

壓力體是由三種面封閉所成的體積：即 1 ）曲面本身； 2 ）液體的自由表面（相對壓強為零）或自由表面的延長面； 3 ）自曲面兩端向自由表面作鉛垂面。p_z的指向取決于受壓曲面和液體的相對位置：液體在受壓曲面的上方則p_z向下；液體在受壓曲面的下方則p_z向上。求出p_x和 p_z 后可求p

    其作用線必通過p_x與p_z作用線的交點。p的作用點位于 p 的作用線與曲面的交點. 但對許多實際問題往往只需求出p_x，p_z．即可，并不需要計算合力p。

 

【 例 6-2 -7 】 長度為 1m 的半圓柱（圖 6-2-14 ) ，直徑 d 為 3m ，左、右側均有水，求 a b曲面上的總壓力。

【 解 】（ 1 ）水平分力:

曲面 ab 的水平分力p_x等于作用在曲面 ab 的豎直投影面上的液體總壓力為矩形，由于左、右側均有水，應用求壓強分布圖體積的方法比較直觀、簡便。見圖 6-2-14( a ) ，分別作左側和右側的壓強分布圖。由于左、右側壓強方向相反，抵消后剩下

c面上的三角形壓強分布圖和 c面上的矩形壓強分布圖。計算以上壓強分布圖的面積再乘以圓柱體長度 〔 垂直于紙面方向） lm 可得到壓強分布圖體積，即為所求的 p_x .

   

( 2 ）豎直分力  作壓力體圖見圖 6-2-14 ( b ）。由于 ab 曲面的土半段與下半段繪制壓力體時有重合部分，易混淆，故應以最大輪廓點 c 為分界，將其分為上半段 ac 與下半段 cb ，分別繪制其壓力體圖。又由于左、右側均有水，故還需分別繪制左側和右側的壓力體圖。圖 6-2-14 ( b ）中， ( l ）為 ac 受左側水壓力的壓力體圖； ( 2 ）為 cb 受左側水壓力的壓力體圖； ( 3 ）為 cb 受右側水壓力的壓力體圖（右側水對 ac 無壓力）。將三者疊加，方向相反的部分抵消后，剩下的壓力體圖見（ 4 ）。計算 p_z 。

p與水平的夾角

由于 ab 為圓弧面，合力p垂直于 ab 則應通過圓心，過圓心作與水平成 27.6°的直線即為p的作用線，其與曲面 ab 交于 d 點， 可求得 d 點水深h_d = ＋ sin 27.6°= 2.2m 。

【 例 6-2 - 8 】圖 6-2- 15 所示一球形容器由兩個半球面鉚接而成，鉚釘有n個，內盛密度為 ρ 的液體，求每一鉚釘所受的拉力。

 

【 解 】 鉚釘受的拉力應等于上半球所受的液體總壓力（水平分力為零，只有豎直分力）。

繪出上半球的壓力體圖：壓力體由 l ）上半球面； 2 ）自由表面，此處應為過測壓管自由液面（相對壓強為零）的延長面． 3 ）過上半球周界向自由面的延長而所作的鉛垂面，此處即為圓柱面。這樣，上半球壓力體如圖示（豎直線所示）。壓力體體積為以 r 為半徑以 h + r 為高的圓柱體減去以 r 為半徑的半球：