第十節　組合變形

本節大綱要求：拉/壓-彎組合、彎-扭組合情況下桿件的強度校核；斜彎曲。

一、概述

（一）組合變形

什么是組合變形：桿件在外力作用下，同時產生兩種或兩種以上的同一數量級的基本變形，稱為組合變形。

（二）組合變形強度計算的步驟

在小變形和材料服從虎克定律的前提下，可以認為組合變形中的每一種基本變形都是各自獨立、互不影響的。因此對組合變形桿件進行強度計算，可以應用疊加原理，采用先分解而后疊加的方法。其基本步驟是：

1．將作用在桿件上的荷載進行簡化與分解(橫向力向截面的彎曲中心簡化，并沿截面的形心主慣性軸方向分解；而縱向力則向截面形心簡化)，使簡化后每一組荷裁只產生一種基本變形。

2．分別計算桿件在各個基本變形下的應力。

3．將各基本變形情況下的應力疊加，便得在組合變形下桿件的總應力。

4．根據危險點的應力狀態，建立強度條件，選擇適當的強度理論進行強度計算。

二、斜彎曲

圖5-10-1

（一）受力特征與變形特征

受力特征：橫向力(或力偶)的作用線(作用面)通過橫截面的彎曲中心，但不平行于梁的形心主慣性平面。

變形特征  彎曲平面與荷載作用平面不平行。

（二）應力計算

圖5-10-2

    如圖5—10—2所示，任意橫截面上任意點(y，z)的應力為

（三）中性軸位置

由σ=0條件確定

式中  φ為外力作用線與y軸的夾角。

一般情況下，梁橫截面的兩個形心主慣矩并不相等，i_y≠i_z，故α與φ不等，即中性軸與合彎矩矢量方向不平行(即中性軸不垂直荷載作用面)，這是斜彎曲區別于平面彎曲的特點之一。

（四）強度條件

距中性軸最遠的點是危險點。若截面具有棱角，則棱角點是危險點；無棱角的截面，應先確定中性軸的位置，再找到最遠點(截面周邊l平行巾性軸的切點處)。危險點處于單向應力狀態。

設危險點的坐標為(y_l，z₁)，則強度條件為

或

m_y、m_x不在同一截面達到最大值時，應試算m_y、m_z較大的幾個截面，才能確定危險截面。若材料的許用拉、壓應力不同[σ_t]≠[σ_c]，則拉、壓強度均應滿足。

（五）變形計算

    先分別求出p_y、p_x產生的撓度v_y、v_x，然后幾何合成，得

總撓度v與y軸的夾角為

    一般情況下，i_y≠i_z，故β≠φ

所以彎曲平面不平行荷載作用面。但β=|α|，中性軸垂直彎曲平面。

三、拉伸或壓縮與彎曲的組合變形

（一）軸向力與橫向力聯合作用

    圖5—l0—3所示ab梁同時受軸向拉力p及橫向分布荷載q作用。

圖5-10-3

任一橫截面上的內力中：

由軸向力引起軸力n；由橫向力引起彎矩m_z、剪力q_y。

橫截面上任一點的正應力為

圖示a截面為危險截面，上邊緣點為危險點，處于單向應力狀態，故強度條件為

對于脆性材料，則應分別校核其抗拉和抗壓強度。對于塑性材料取σ_tmax、σ_cmax中絕對值最大者校核強度。

（二）偏心壓縮(或拉伸)  

圖5-10-4

圖5—10—4所示桿件受偏心壓力(或拉力)作用時，將同時產生軸向壓縮(拉伸)和平面彎曲兩種基本變形。

1．任一截面上的內力分量為

軸力                          n=－p

彎矩

2，應力計算

任一點k(y,z)的應力為

式中

偏心拉伸時，p用負值代入即可。

3、中性軸位置

橫截面中心軸位置由σ=0確定，中性軸為一條不通過截面形心的直線。

式中  (z₀，y₀)為中性軸上任一點的坐標。

    中性軸在y、z軸上的截距分別為

式中負號表明，截距a_y、a_z分別與外力作用點位置y_p、z_p反號，即中性軸與外力作用點  分別處于形心的兩側。   

4．強度條件

危險點位于距中性軸最遠的點處。若截面有棱角，則危險點必在棱角處；若截面無棱角則在截面周邊上平行于中性軸的切點處。危險點的應力狀態為單向應力狀態，其強度條件為

若材料的[σ_t]>[σ_c]，則最大拉應力點與最大壓應力點均需校核。

5．截面核心

定義  截面形心周圍的一個區域，當偏心荷載作用于該區域時，截面上只出現一種應    力。

計算公式  確定截面核心，由與截面周邊相切的中性軸截距，求外力作用點的位置，即

 

 

四、扭轉和彎曲的組合

    當構件同時承受扭轉力偶和橫向力作用時，將產生扭轉和彎曲兩種基本變形。

（一）應力計算

    若某一截面上內力分量有扭矩m_t， 以及兩相互垂直平面內的彎矩m_y、和

 m_z，剪力v_y、v_z通常略去不計。則該 截面上任一點(y，z)處的應力分量有扭轉剪應力τ，及彎曲正應力σ。若構件的橫截面為圓形或空心圓截面。由于過圓形或空心圓截面形心的任一軸均為形心主慣性軸，故可先計算合成彎矩

然后，再按平面彎曲，計算正應力。

（二）強度條件

危險點及其應力狀態

危險點位于合成彎矩作用平面與橫截面相交的截面周邊處。其應力狀態為平面應力狀態。

強度條件

對于塑性材料，選用第三或第四強度理論，其強度條件分別為

式中

  

 

[例5-10-1]  截面為矩形b×h：90mm×180mm的懸臂木梁，承受荷載p_l=lkn，p₂=1．6kn，如下圖所示，木材的e=i×l0⁴mpa。試求

l．梁內最大正應力及其作用點位置；

2．粱的最大撓度。

  [解]  1．最大正應力

  危險截面在固定端處，其彎矩為

危險點為固定端截面上的d_１點和d₂點，其正應力為

其中d_l點為拉應力，d₂點為壓應力。

    2．最大撓度

    最大撓度發生在自由端截面

（力p1造成的繞度和p2造成的繞度之和。計算公式參考5.8節中的內容-教材99頁）

    [例5-10—2]  矩形截面短柱承受荷載p1、p2作用如下圖所示。試求固定端截面上角點a、b、c及d處的正應力，并確定該截面中性軸的位置。

    [解]  1．固定端截面的內力分量

2.各點應力

3．中性軸位置

設(y_o、z_o)為中性軸上任一點的坐標，則有

得中性軸方程

中性軸與y、z軸的截距

中性軸位置如圖(b)所示。

 

第十一節　壓桿穩定

本節大綱規定的要求：壓桿的臨界載荷；歐拉公式；柔度；臨界應力總圖；壓桿的穩定性校核。

一、壓桿穩定性的概念

（一）壓桿的穩定平衡和不穩定平衡

    穩定平衡： 桿在軸向壓力作用下，當外加干擾撤除后若仍能恢復原有直線形狀的平衡，則桿件原來直線形狀的平衡是穩定平衡。

    不穩定平衡：桿在軸壓力作用下，當外加干擾撤除后若不能恢復原有直線形狀的平衡，仍保持微彎狀態的平衡，則桿件原來的直線形狀的平衡是不穩定平衡。

（二）壓桿的失穩與臨界力

    失穩：壓桿喪失其原有的直線形狀的平衡而過渡為微彎狀態的平衡的現象。

臨界力 ：壓桿保持直線形狀的平衡為穩定平衡時，軸壓力的最大值，也即壓桿在微彎狀態下保持平衡的最小壓力。

二、細長壓桿的臨界力公式

細長壓桿臨界力的歐拉公式為

式中  e——材料的彈性模量；

i——壓桿失穩而彎曲時，橫截面對中性軸的慣性矩；

l——壓桿長度；

μ——長度系數，與桿兩端的約束條件有關，常見的各種支承方式的長度系數見下表。

 

三、歐拉公式適用范圍

（一）臨界應力

  在臨界應力作用下，壓桿橫截面上的應力

 

    柔度參數綜合反映了桿端約束、桿的長度、截面形狀和尺寸等因素對臨界應力的影響，λ是一個無量綱量。

    壓桿柔度越大，臨界應力就越小，壓桿就越容易失穩。若壓桿在兩個形心主慣性平面內的柔度不同，則壓桿總是在柔度較大的那個形心主慣性平面內失穩。

（二）歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據桿件彎曲變形的近似撓曲線微分方程式導出的，僅適用于小變形、線彈性范圍的壓桿，即臨界應力σ_cr應小于材料的比例極限σ_p

用柔度表示

  λ_p是壓桿能夠應用歐拉公式的最小柔度，其值取決于壓桿材料的彈性模量e和比例極限σ_p。例如，對于(q235)鋼，e=2．06×10⁵mpa，σ_p=200mpa。  

則

用q235鋼制成的壓桿，只有當λ≥100時，才可以使用歐拉公式。

 

四、臨界應力總圖

根據壓桿柔度λ的大小，壓桿可以分為三種類型，分別按不同的公式來計算臨界應力。

細長桿(大柔度桿)，λ≥λ_p

中長桿(中柔度桿)，λ_p≥λ≥λ₀

直線型經驗公式

式中 a、b均是與材料有關的常數。

粗短桿(小柔度桿) λ≤λ₀

實際上就是強度問題。

工程上還應用一種拋物線型經驗公式

式中  a₁、b₁、λ_c均與材料有關的常數。

    臨界應力總圖：表示壓桿臨界應力σ_cr隨不同柔度λ的變化規律的圖線(圖5—11-1)。

五、壓桿穩定校核

（一）安全系數法

  穩定條件： 壓桿具有的工作安全系數n應不低于規定的穩定安全系數n_st

    即

式中  p_cr———壓桿的臨界壓力；

    p——壓桿承受的工作壓力；

   n_st——規定的穩定安全系數。

（二）折減系數法

穩定條件：壓桿橫截面上的應力不超過材料的許用應力乘以考慮穩定的折減系數。

即

式中  φ為折減系數，是小于1的一個系數，它綜合考慮了柔度λ對臨界應力σ_cr、穩定安全系數n_st的影響，所以φ也是λ的函數。常用材料的φ值可查閱工程手冊。

 

六、提高壓桿穩定性的措施

（一）減小壓桿的柔度

    1．選擇合理的截面形狀。

    2，加強約束，減小壓桿的長度。

    3．改善桿端支承條件。

（二）合理選用材料

 

 [例5—11－l ] 兩端為球鉸支承的等直壓桿，其橫截面分別為圖5—11－2所示。試問壓桿失穩時，桿件將繞橫截面上哪一根軸轉動。

 [解]  壓桿失穩時，將發生彎曲變形。由于桿端約束在各個方向相同，因此，壓桿將在抗彎剛度為最小的平面內失穩，即桿件橫截面將繞其慣性矩為最小的形心主慣性軸轉動。如圖所示。

[例5-11—2]  兩端鉸支壓桿的長度l＝1200mm，材料為q235鋼，e＝2x10⁵mpa，截面面積a=900mm²。若截面形狀為(1)正方形，(2)d／d=0．7的空心圓管。求各桿的臨界壓力。

[解]  1．正方形截面

計算柔度

a₃鋼λ_p≈100,λ>λ_p屬細長桿

可以用歐拉公式計算臨界壓力

所以

屬細長桿

2．空心圓截面

由

得

所以柔度

q235鋼

由直線型經驗公式

本題中二桿的截面積、桿長和支承方式均相同，只是截面形狀不同。它們的柔度也不同，臨界壓力隨柔度的減小而增大。

這里需要注意，對于給定的壓桿，計算臨界應力時應先計算柔度λ，根據值判斷壓桿類型，然后選擇相應的臨界應力公式，切忌不加判斷就直接采用歐拉公式計算。

 [例5－11－3]  圖5－11—3所示托架中的ab桿，直徑d＝40mm，長度l＝800mm，兩端鉸支，材料為q235鋼，cd桿為剛性桿。

 1．試求托架的極限荷載q_max。

2．若工作荷載q=70kn，規定的穩定安全系數n_st=2，試問此托架是否安全。

[解)  1．受力分析

取cd桿為脫離體，由平衡條件，∑m_c=0，

  2．ab桿的臨界力

  計算長細比

  若用直線公式計算臨界應力（臨界力乘以桿體面積）

  則臨界力

  3．托架的極限荷載

將n=n_cr代入n=2.27q

即得

4．托架穩定校核

q＝70kn時，托架的工作安全系數

所以，托架穩定性不足