5.8彎曲變形

一、粱的撓度與轉角

（一）撓曲線

在外力作用下，梁的軸線由直線變為光滑的彈性曲線，梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。

在平面彎曲下，撓曲線為梁形心主慣性平面內的一條平面曲線v=f(x)(見圖5-8-1)。

（二）撓度與轉角

    梁彎曲變形后，梁的每一個橫截面都要產生位移，它包括三部分：

1. 撓度 ：梁橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為撓度，記作v。沿梁軸各橫截面撓度的變化規 律，即為梁的撓曲線方程。

v=f(x)

2．轉角： 橫截面相對原來位置繞中性軸所轉過的角度，稱為轉角，記作θ。小變形情況下，

 3．此外，橫截面形心沿梁軸線方向的位移，小變形條件下可忽略不計。

(三)撓曲線近似微分方程

  在線彈性范圍、小變形條件下，撓曲線近似微分方程為

上式是在圖5—8—l所示坐標系下建立的。撓度v向下為正，轉角θ順時針轉為正。

二、積分法計算梁的位移

根據撓曲線近似微分方程(5—8—1)，積分兩次，即得梁的轉角方程和撓度方程，即由

式中  積分常數c、d，可由梁的邊界條件來確定。當梁的彎矩方程需分段列出時，撓曲 線微分方程也需分段建立，分段積分。于是全梁的積分常數數目將為分段數目的兩倍。為了確定全部積分常數，除利用邊界條件外，還需利用分段處撓曲線的連續條 件(在分界點處左、右兩段梁的轉角和撓度均應相等)。

三、用疊加法求梁的位移

（一）疊加原理

  幾個荷載同時作用下梁的任一截面的撓度或轉角等于各個荷載單獨作用下同一截面撓度或轉角的總和。

（二）疊加原理的適用條件

  疊加原理僅適用于線性函數。要求撓度、轉角為梁上荷載的線性函數，必須滿足：

  1．材料為線彈性材料；

  2．梁的變形為小變形；

  3．結構幾何線性。

（三）疊加法的特征

  1．各荷載同時作用下撓度、轉角等于單獨作用下撓度、轉角的總和，應該是幾何和，同一方向的幾何和即為代數和。

2．梁在簡單荷載作用下的撓度、轉角應為已知或可查手冊。

3．疊加法適宜于求梁某一指定截面的撓度和轉角。

疊加法求梁變形的主要步驟是：首先分解荷載，使之成為幾個只作用一個荷載的簡單梁，再計算或從材料力學教材的典型變形表上查得各簡單梁的變形，最后疊加到總變形。

   [例 5—8—1]  用積分法求圖5—8—3所示各梁的撓曲線方程時，試問應分為幾段?將出現幾個積分常數? 并寫出各梁的邊界條件和連續條件。

    [解]  

. (a)撓曲線方程應分為兩段，共有四個積分常數。

邊界條件為 

連續條件為

    (b)撓曲線方程應分為兩段，共有四個積分常數。

邊界條件為

式中  k為彈簧的剛度。

連續條件為

(c)撓曲線方程應分為兩段，共有四個積分常數。

邊界條件為

連續條件為

分析與討論

(1)凡荷載有突變處、有中間支承處、截面有變化處或材料有變化處，均應作為分段點。

(2)中間鉸視為兩個梁段間的聯系，此種聯系體現為兩部分之間的相互作用力，故應作為分段點。

(3)各分段點處都應列出連續條件。根據梁變形的連續性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉角值。在中間鉸處，雖然兩側轉角不同，但撓度卻是唯一的。

[例5-8-2]  試用疊加法求圖5-8—4所示外伸梁外伸端c點的撓度v_c和轉角θ_c。

 

    

    [解]  將荷載分解為b)、(c)、(d)三種情況，每種情況下的轉角、撓度可查表得到：

由疊加原理：

第九節　應力狀態分析和強度理論

本節大綱要求:平面應力狀態分析的解析法和應力圓法；主應力和最大切應力；廣義虎克定律；四個常用的強度理論。

一、應力狀態的概念

（一）一點的應力狀態

  通過受力構件內一點的所有截面上的應力情況稱為一點的應力狀態。

（二）一點的應力狀態的表示法——單元體

圍繞所研究的點，截取一個邊長為無窮小的正六面體，用各面上的應力分量表示周圍材料對其作用。稱為應力單元體。

    特點：

1．單元體的尺寸無限小，每個面上的應力為均勻分布。

2．單元體表示一點處的應力，故相互平行截面上的應力相同。

（三）主平面、主應力、主單元體

主平面：單元體中剪應力等于零的平面。

主應力： 主平面上的正應力。

可以證明：受力構件內任一點，均存在三個互相垂直的主平面。三個主應力用σ_l、σ₂

和σ₃表示，且按代數值排列即σ_l>σ₂>σ₃。

  主單元體： 用三對互相垂直的主平面取出的單元體。

（四）應力狀態的分類

根據主單元體上三個主應力中有幾個是非零的數值，可將應力狀態分為三類：

1．單向應力狀態  只有一個主應力不等于零。

2．二向應力狀態  有兩個主應力不等于零。

3．三向應力狀態  三個主應力都不等于零。

單向應力狀態又稱為簡單應力狀態，二向和三向應力狀態統稱為復雜應力狀態。單向及二向應力狀態又稱為平面應力狀態。

二、平面應力狀態分析的解析法

    平面應力狀態通常用單元體中主應力為零的那個主平面的正投影表示如圖5—9—1所示。

（一）任意斜截面上的應力

    若已知一平面應力狀態σ_x、σ_y、τ_xy,則與x軸成a^。角的斜截面上的應力分量為

式中  正應力σ以拉應力為正；剪應力τ以對單元體產生順時針力矩者為正，α角以逆時 針轉向為正。

（二）主平面 、主應力

主平面的方位角α₀

 

主應力

考慮到單元體零應力面上的主應力為零，因此

    單元體中互相垂直的兩個截面上的正應力之和為常量，即

式中   β=α+90°。

（三）主剪應力及其作用面

作用面方位角α₁

數值

必須說明：

1．主剪應力τ_xy主是單元體上垂直于零應力面所有截面上剪應力的極大值和極小值。并不一定是該點的最大和最小剪應力。

2．主剪應力作用面(主剪面)與主平面成45°角，即

 

三、平面應力狀態分析的應力圓法

（一）應力圓方程

    在平面應力狀態σ_x、σ_y、τ_xy下，任意斜截面上的應力σ_σ與τ_σ間的關系式為一個圓方程。

  圓心

圓半徑

（二）應力圓作法

若已知一平面應力狀態σ_x、σ_y、τ_xy，則取橫坐標為σ軸、縱坐標為τ軸，選定比例尺；  由(σ_x，τ_xy)確定點d_x，(σ_y，τ_yx)確定點d_y；連接d_xd_y交σ軸于c，以c為圓心，或為半徑作圓，即得相應于該單元體的應力圓。

（三）應力圓與單元體之間的對應關系

  以上對應關系可概括為“點面對應，轉向相同，夾角兩倍”。

四、一點的最大正應力，最大剪應力

  一點的最大正應力為

一點的最大剪應力為

其作用平面與σ₂方向平行且與σ₁、σ₃的作用面分別成45°。

五、廣義虎克定律

對于各向同性材料，小變形條件下，正應力僅引起線應變，剪應力僅引起相應的剪應變，所以應力一應變關系為

三向主應力狀態下，主應力與主應變的關系為

平面應力狀態下的應力應變關系為

上列式中，e為彈性模量，v為泊松比，g為剪變模量。

六、強度理論

（一）強度理論的概念  

    1．材料破壞的兩種類型

    材料破壞型式不僅與材料本身的材質有關，而且與材料所處的應力狀態、加載速度溫度環境等因素有關。材料在常溫、靜載荷下的破壞型式主要有以下兩種：

脆性斷裂  材料在無明顯變形下的情況下突然斷裂。

塑性屈服(流動)  材料出現顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。

2．強度理論

在復雜應力狀態下關于材料破壞原因的假設，稱為強度理論。

研究強度理論的目的，在于利用簡單應力狀態下的實驗結果，來建立材料在復雜應力狀態下的強度條件。

（二）四個常用的強度理論

四個常用強度理論的強度條件可以統一地寫成

式中  σ_r稱為相當應力，其表達式為

第一強度理論(最大拉應力理論)    σ_r1＝σ₁

第二強度理論（最大拉應變理論）σ_r2＝σ₁－ν(σ₁+σ₂)

第三強度理論（最大切應力理論）σ_r3＝σ₁－σ₃

第四強度理論（最大形狀改變比能理論）

（5-9-15）

    [σ]為材料的許用應力。

    對于工程上常見的一種二向應力狀態如圖5—9—3所示，其特點是平面內某一方向的正應力為零。設σ_y=0，則該點的主應力為

代入(5—9-15)式得：

第三強度理論(最大切應力理論)的相當應力為

第四強度理論(形狀改變比能理論)的相當應力為

最大拉應力理論、最大拉應變理論是關于脆性斷裂的強度理論；最大切應力理論、形狀改變比能理論是關于塑性屈服的強度理論。

強度理論的選用

在三向拉應力作用下，材料均產生脆性斷裂，故宜用第一強度理論；而在三向壓縮應力狀態下，材料均產生屈服破壞，故應采用第三或第四強度理論。當材料處于二向應力狀態作用下時：

脆性材料易發生斷裂破壞，宜用第一或第二強度理論；

    塑性材料易發生塑性屈服破壞，宜用第三或第四強度理論。

    [例5-9-1]  已知構件上某點的應力單元體如圖5-9-4(a)，(b)所示(圖中應力單位為mpa)。試求指定斜截面上的應力。

    [解]  圖示單元體處于平面應力狀態。（先整理基礎參數）

(1)在圖示坐標中

代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得

 σ_α、τ_σ方向如圖中所示。

(2)在圖示坐標中，

σ_α、τ_σ方向如圖中所示。