第三節 剪切

本節大綱要求是：剪切和擠壓的實用計算；剪切面；擠壓面；剪切強度；擠壓強度。

一、        剪切的實用計算

（一）剪切的概念

力學模型如圖5—3—1所示。

受力特征 ： 構件上受到一對大小相等、方向相反，作用線相距很近且與構件軸線垂直的力作用。

變形特征：  構件沿兩力的分界面有發生相對錯動的趨勢。

剪切面：  構件將發生相對錯動的面。

剪力v：  剪切面上的內力。其作用線與剪切面平行。

（二）剪切實用計算

名義剪應力：假定剪應力沿剪切面是均勻分布的。若a_v為剪切面面積，v為剪力，則

許用剪應力：按實際構件的受力方式，用試驗的方法求得名義剪切極限應力τ_o，再除以安全系數n。

剪切強度條件：剪切面上的工作剪應力不得超過材料的許用剪應力

 

擠壓的實用計算

（一）擠壓的概念

擠壓：兩構件相互接觸的局部承壓作用。

擠壓面：兩構件間相互接觸的面。

擠壓力p_bs：承壓接觸面上的總壓力。

（二）擠壓實用計算

名義擠壓應力：假設擠壓力在名義擠壓面上均勻分布。

式中  a_bs為名義擠壓面面積。當擠壓面為平面時，則名義擠壓面面積等于實際的承壓接觸面面積；當擠壓面為曲面時，則名義擠壓面面積取為實際承壓接觸面在垂直擠壓力方向的投影面積。

許用擠壓應力： 根據直接試驗結果，按照名義擠壓應力公式計算名義極限擠壓應力，再除以安全系數。

擠壓強度條件 ： 擠壓面的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力。上述提到的主要是一些概念性的理論。下面我們看一個例題，08年的考題。

 [例5—3—1]  某接頭部分的銷釘如圖5—3—3所示。試計算銷釘的剪應力τ和擠壓應力σ_bs。

    [解]由圖可見，銷釘所受軸向拉力p將在釘頭內形成一個高度為h=12mm，直徑為d=32mm的圓柱形剪切面和一個外直徑為d=45mm，內直徑為d₀=34mm的環形擠壓面。

由平衡條件得（剪力和擠壓力）

v=p=100kn

p=p_bs=100kn

  所以，剪應力

擠壓應力

[例5—3－2]  圖5—3－4所示接頭是由中間鋼板(主板)通過上下兩塊鋼蓋板對接而成。鉚釘與鋼板材料相同， [τ]=130mpa，[σ_bs]=300mpa，[σ]=170mpa；鉚釘直徑d=20nm，主板厚度t₁=10mm，蓋板厚t₂=6mm，主、蓋板的寬度b=200mm。若p=200kn。試校核該接頭的強度。

    [解]

    1．校核鉚釘的剪切強度

   p力由主板傳給鉚釘，再由鉚釘傳給蓋板。當鉚釘直徑相同，且外力作用線通過鉚釘群截面的形心時，假設各鉚釘的受力相同。因此左側鉚釘的受力圖如圖(b)所示。鉚釘有兩個剪切面。由平衡條件可得，

受剪面上的剪力

v=p/2n=p/2×5=p/10

剪切面面積

a_v=πd²/4

故

    2．校核鉚釘的擠壓強度

  主板厚度小于兩塊蓋板厚度之和，故應校核鉚釘與主板之間的擠壓強度，即

    3．校核主鋼板的抗拉強度

    畫出左邊主板的受力圖和軸力圖如圖(c)所示。校核i—i、ⅱ—ⅱ截面的抗拉強度。

  對i—i截面：

  對ⅱ—ⅱ截面：

  4．校核蓋板的抗拉強度

  蓋板受力圖和軸力圖如圖(d)所示。由圖可見ⅱ—ⅱ截面處軸力最大而截面積最小，

  故ⅱ—ⅱ截面為蓋板的危險截面，應校核其抗拉強度，

所以，接頭強度足夠。

 

[例5-3-3]  圖5—3—5所示一托架。已知p=35kn，鉚釘的直徑d=20mm，鉚釘受單剪，求最危險的鉚釘截面上剪應力大小及方向。

  [解]

  1．受力分析

    因為p力不通過鉚釘群截面形心，所以將力p向鉚釘群截面形心簡化，得一力和一個力偶。

p’=p=35kn

m=p×e=35×225×10^-3=7.875knm

2．由于力p’通過鉚釘群形心作用，每個鉚釘受力相等，故每個鉚釘的剪力為

v’=v’₂=v’₃=v’₄=p/4=35/4kn

3．由于力偶m作用，每個鉚釘受力不等，其大小與該鉚釘離鉚釘群截面形心的垂直距離成正比，力的方向垂直于各鉚釘截面形心與釘群形心間的連線。則由

4．上述2、3兩項計算中每個鉚釘受到的兩個力的合力即為每個鉚釘的受力，顯見鉚

釘l、4受力最大

鉚釘1的剪應力

方向如圖(c)所示。

下面講一個10年的考題。

第四節  扭轉

本節大綱要求內容：扭矩和扭矩圖，圓軸扭轉切應力；切應力互等定理；剪切虎克定律；圓軸扭轉的強度條件；扭轉角計算及剛度條件。

二、        扭轉的概念

（一）扭轉的力學模型，如圖5-4-1所示。

受力特征：桿兩端受到一對力偶矩相等，轉向相反，作用平面與桿件軸線相垂直的外力偶作用。

變形特征 ：桿件表面縱向線變成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發生相對轉動。

扭轉角φ ：桿件任意兩橫截面間相對轉動的角度。

（二）外力偶矩的計算

軸所傳遞的功率、轉速與外力偶矩間有如下關系：

式中  傳遞功率n的單位：kw為千瓦，p_s為公制馬力(1p_s=735．5nm／s)；轉速n的單位為rpm(轉每分鐘)。教材中所講的外力偶矩的公式是m=9549*p_k/n，其實和上面的公式一樣，只是字母和單位不同，一個是kn.m，一個是n.m.

三、        扭矩和扭矩圖

扭矩：受扭桿件橫截面上的內力，是一個在截面平面內的力偶，其力偶矩稱為扭矩。一般用m_t（教材用t）表示，見圖5—4—2，其值用截面法求得。

扭矩符號：扭矩m_t的正負號規定，以右手法則表示扭矩矢量，若矢量的指向與截面外向法線的指向一致時扭矩為正，反之為負。

扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。

四、        剪應力互等定理和剪切虎克定律

（一）純剪切

若單元體各個側面上只有剪應力而無正應力稱為純剪切。

純剪切引起剪應變γ，即相互垂直的兩線段間角度的改變。如下圖所示。

剪應變γ ：在剪應力作用下，單元體兩相互垂直邊間直角的改變量。單位為rad，無量綱。在材料力學中規定以單元體左下直角增大時，γ為正，反之為負。

（二）剪應力互等定理

在互相垂直的兩個平面上，垂直于兩平面交線的剪應力，總是大小相等，且共同指向或背離這一交線(上圖)。即

τ=-τ^‘

（三）剪切虎克定律

當剪應力不超過材料的剪切比例極限時，剪應力τ與剪應變γ成正比，即

τ=gγ

式中  g稱為材料的剪變（切變）模量。

 

對各向同性材料，材料的三個彈性常數e（彈性模量），g（剪變模量），ν（泊松比）有下列關系：

即e、g、ν間只有二個獨立常數。

五、        圓桿（軸）扭轉時的剪應力  強度條件

（一）橫截面上的剪應力

1．剪應力分布規律：橫截面上任一點的剪應力，其方向垂直于該點所在的半徑，其值與該點到圓心的距離成正比，見圖5-4-3。

2．剪應力計算公式： 橫截面上距圓心為ρ的任一點的剪應力為

橫截面上的最大剪應力發生在橫截面周邊各點處，其值為

 

ip為截面的極慣性矩，wt為抗扭截面系數；

3．剪應力公式的討淪

  (1)公式適用于線彈性范圍(τ_max≤τ_p)，小變形條件下的等截面實心或空心圓直桿。

  (2)m_t為所求截面上的扭矩。

  (3)i_p稱為極慣性矩，wt稱為抗扭截面系數，對于實心圓截面（直徑為d）。

空心圓截面(外徑為d，內徑為d)

其中

α=d/d

（二）圓桿扭轉時的強度條件

強度條件：圓桿扭轉時橫截面上的最大剪應力不得超過材料的許用剪應力，即

由強度條件可對受扭桿進行強度校核、截面設計和確定許可荷載三類問題計算。

六、        圓桿扭轉時的變形 和 剛度條件

（一）圓桿的扭轉變形計算

單位長度扭轉角-

扭轉角

若長度l內，m_t、g、i_p均為常量時

公式適用于線彈性范圍，小變形下的等直圓桿。gi_p表示圓桿抵抗扭轉彈性變形的能力，稱為抗扭剛度。

  （二）圓桿扭轉時的剛度條件

剛度條件： 圓桿扭轉時的最大單位長度扭轉角不得超過規定的許可值，即

由剛度條件，同樣可對受扭圓桿進行剛度校核、截面設計和確定許可荷載三類問題的計算。下面來看一個例題。

[例5—4—1]  一傳動軸如圖5－4—5所示。已知軸的直徑d=45mm，轉速n=300rpm，主動輪輸入的功率n_a=36．7kw，從動輪b、c、d輸出的功率分別為n_b=14．7kw、n_c=n_d=llkw；軸的材料為45號鋼，g=8×10⁴mpa，[τ]=40mpa，[θ]=2⁰／m。試校核軸的強度和剛度。

圖5-4-1

該題的求解方面同樣采用截面法。

[解]  1．計算外力偶矩

 2．畫扭矩圖  確定危險截面

用截面1—1、2－2、3－3分別將桿截開，取各脫離體如(b)圖示，由平衡條件∑mx=0，分別得

  扭矩圖如圖(e)所示。由圖可見在ac段內的扭矩最大，m_t=700nm，因為軸是等截面的，故a_右—c_左間任一橫截面均為危險截面。

3.強度校核

滿足強度條件。

    4．剛度校核

滿足剛度條件。

例題1-08年考題

例題2：2010年考題

圓軸直徑為d,剪切彈性模量為g，在外力作用下發生扭轉變形，現測得單位長度扭轉角為θ，圓軸的最大切應力是：

(a)：

(b)：

(c) ：

(d)：

本題考的就是剪應力和扭轉角的基本計算公式：，