五、達朗伯原理

達朗伯原理是一種解決非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍方法。這種方法將質(zhì)點系的慣性力虛加在質(zhì)點系上，使動力學(xué)問題可以應(yīng)用靜力學(xué)寫平衡方程的方法來求解，故稱為動靜法，動靜法在工程技術(shù)中得到廣泛的應(yīng)用。此法最大的特點是引入慣性力的概念。慣性力什么？本質(zhì)是個虛擬力，不是實際物體受到的力。

（一）慣性力

當(dāng)質(zhì)點受到其他物體的作用而改變其原來運動狀態(tài)時，由于質(zhì)點的慣性產(chǎn)生對施力物體的反作用力，稱為質(zhì)點的慣性力。慣性力的大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，并作用在施力物體上。慣性力的表達式為

（二）達朗伯原理

         這是引入慣性力的一個原理：

在非自由質(zhì)點m運動中的每一瞬時，作用于質(zhì)點的主動力f、約束反力n和該質(zhì)點的慣性力fi構(gòu)成一假想的平衡力系。這就是質(zhì)點達朗伯原理，其表達式為

對于質(zhì)點系而言，

在非自由質(zhì)點系運動中的每一瞬時，作用于質(zhì)點系內(nèi)每一質(zhì)點的主動力fi、約束反力n，和該質(zhì)點的慣性力fii構(gòu)成一假想的平衡力系。這就是質(zhì)點系達朗伯原理。即

達朗伯原理是引入慣性力的原理，所以實質(zhì)是不存在的，但是引入后將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，處理起問題方便，引入了動力學(xué)中一個新方法。（達朗伯，造就了一個靜力學(xué)思想解決動力學(xué)問題的方法）

該定理可以解決動力學(xué)的兩類問題。特別是對需要求解質(zhì)點系的約束力或外力時，該理

更方便

（三）剛體運動時慣性力系的簡化

我們的研究對象主要是剛體，所以接下來看一下質(zhì)點系——剛體的動力學(xué)問題，可以將剛體上每個質(zhì)點的慣性力組成慣性力系，用（靜力學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過）力系簡化的方法，得出簡化結(jié)果。這些簡化結(jié)果與剛體的運動形式有關(guān)。具體結(jié)果見表4-3-9。

平動》》》》》

定軸轉(zhuǎn)動：僅討論剛體具有質(zhì)量對稱面且轉(zhuǎn)軸垂直于此對稱面的情形。也就是不規(guī)則的剛體不討論。

 

剛體的平動可以看成質(zhì)心平動，所以平動的慣性力系簡化類似質(zhì)點的形式，如下表。

剛體的定軸轉(zhuǎn)動時，剛體具有與轉(zhuǎn)軸垂直的對稱面，在任意瞬時，它的慣性力系首先可以化簡為位于這個對稱面內(nèi)的平面慣性力系；

再向轉(zhuǎn)軸與此對稱面的交點o簡化，得到該慣性力系的主矢和主矩。

選擇o點為簡化中心。主矩可以寫為r=-mac，在此不要忘記，轉(zhuǎn)動時加速度有法向和切向的，是這兩個加速度的合成。

主矩，是相對于轉(zhuǎn)軸的慣性力矩，轉(zhuǎn)向與剛體的角加速度轉(zhuǎn)向相反，大小等于剛體對轉(zhuǎn)軸o的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。

如果選擇質(zhì)心為簡化中心時，運動力的平移定理，利用對上述o點的簡化推到出向c點簡化的主矢和主矩，如圖中所示。注意轉(zhuǎn)軸的變化——對應(yīng)角動量由j₀變化到jc 。這就叫對應(yīng)變化。做題時一定注意。

（四）動靜法

根據(jù)達朗伯原理，在質(zhì)點或質(zhì)點系所受的主動力、約束反力以外，假想地加上慣性力或慣性力系的簡化結(jié)果，則可用靜力學(xué)建立平衡方程的方法求解動力學(xué)問題，這種求解動力學(xué)問題的方法稱為動靜法。必須指出，動靜法只是解決動力學(xué)問題的一種方法，它并不改變動力學(xué)問題的性質(zhì)，

1）因為慣性力并不作用在質(zhì)點或質(zhì)點系上，

2）質(zhì)點或質(zhì)點系也不處于平衡狀態(tài)。

動靜法中“平衡”只是形式上的平衡，并沒有實際意義。應(yīng)用動靜法列出的平衡方程，實質(zhì)上就是運動微分方程。

（五）例題

 

    [例4—3—13]  長方形勻質(zhì)薄板重w，以兩根等長的軟繩支持如圖4—3—37所示。設(shè)薄板在圖示位置無初速地開始運動，圖中α=30°。求此時繩子中的拉力。

 [解]

 (1)對象  以平板的為研究對象。

       (2)受力分析  運動開始時板受重力w、軟繩約束反力t₁、t₂。

 (3)運動分析并虛加慣性力。 這是解題的關(guān)鍵

由約束條件知平板作平動，在運動開始時v=0，板上各點法向加速度為零，切向加速度垂直于軟繩，大小aτ=aa=ab=ac=lτ，ε為軟繩的角加速度，于是平板慣性力的合力

加于質(zhì)心c上。如圖4—3—37所示。

 (4)選坐標系，列方程求解。

作用于板上的主動力w，約束反力t₁、t₂及虛加的慣性力rⁱ構(gòu)成平面平衡力系。（其中一定要注意慣性力的方向與實際加速度方向相反）

根據(jù)動靜法列方程。轉(zhuǎn)變?yōu)樘幚砥矫媪ο档钠胶鈫栴}：列以下三個獨立方程

轉(zhuǎn)動問題，肯定有一個轉(zhuǎn)動力矩平衡方程式：注

此時xy遵循了自然坐標，這樣便于簡潔處理問題。

未知量三個t₁、t₂，rⁱ，從此可求得t₁、t₂以及rⁱ，從rⁱ可得到薄板運動的加速度。

今設(shè)c=2b  w=1kn，從式(2)，得到

并得到板的加速度

代入式(1)，解得

從式(3)可得

例題：

 

析：平面力系向o點簡化的結(jié)果，盡管對質(zhì)心和o點簡化結(jié)果一致，首先排除了c,d選項。對直桿而言，端點處得轉(zhuǎn)動慣量為ml²/3,所以選擇b。

七、單自由度系統(tǒng)的振動

自由振動微分方程；固有頻率；周期；振幅；

衰減振動；阻尼對自由振動振幅的影響——了解振幅衰減曲線；

受迫振動；和受迫振動的特性：受迫振動頻率；幅頻特性；

 

（一）自由振動

僅受恢復(fù)力(或恢復(fù)力矩)作用而產(chǎn)生的振動稱為自由振動。

恢復(fù)力是物體偏離平衡位置受到的力，使物體恢復(fù)到平衡位置的力；f=-kx。（k系統(tǒng)有關(guān)量）

如：彈簧振子（彈簧加一個可看做質(zhì)點的物塊m）。

1．振動方程·振動特性

一懸掛質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，現(xiàn)取系統(tǒng)靜平衡位置為坐標原點o，建立坐標軸x，則以x為獨立參數(shù)的振體自由振動的運動微分方程、振動方程、特性參數(shù)等都列在表4-3-11中。詳細的推導(dǎo)過程見課本p51.

振幅,頻率,初位相是簡諧振動的三要素

 

自由振動特性小結(jié)：從表格中的內(nèi)容我們把握以下自由振動的特點：

 (1)由運動方程（振動方程）x=asin(pt+α)，（a是初位相）可見，系統(tǒng)在恢復(fù)力作用下的自由振動是簡諧振動。有時候也寫作x=acos(pt+a)的形式，因為我們知道sin和cos的差別是初位相不同，他們相差pai/2.

       (2)自由振動的振幅a和初位相α都由運動的初始條件x_o、v_o來決定。

(3)自由振動的固有圓頻率p（固有振動頻率f）僅決定系統(tǒng)本身的基本參數(shù)：質(zhì)量m和彈簧的剛性系數(shù)k。而與運動的初始條件無關(guān)。p=2paif，f是固有頻率。

     (4)自由振動的固有頻率f和周期t間的關(guān)系：f=1/t

     (5)表中的運動微分方程，以平衡位置為坐標原點的。

2．振動系統(tǒng)固有圓頻率的計算

(1)直接法：質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)，設(shè)已知質(zhì)量m和彈簧剛性系數(shù)k，直接代入公式即可求得。

(2)平衡法：質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)，在平衡時kδst=p=mg，δst是靜變形，即k=p/δst=mg/δst故：

（注意適用對象：對于教材p51的圖所示，是豎直懸掛的彈簧下端連接一個質(zhì)量m的情形）

(3)列出系統(tǒng)的運動微分方程，化為標準形式如

  即可得到

式中  meq——等效質(zhì)量，表示系統(tǒng)的慣性。

    keq——等效剛性系數(shù)，表示系統(tǒng)的彈性。

    q——系統(tǒng)的廣義坐標。

(4)能量法

自由振動系統(tǒng)，只有重力和彈力做功，機械能守恒。

t+v=c  式中  t為動能，v為勢能。

 

以上是單彈簧系統(tǒng)的研究狀況，實際中常見彈簧的串并聯(lián)情況，看一下串并彈簧時，系統(tǒng)的剛性系數(shù)是多少：

3．并聯(lián)或串聯(lián)彈簧的當(dāng)量剛性系數(shù)(等效剛度)

如果彈簧并聯(lián)：

（我們記憶最深的是電阻的串并聯(lián)，可以對比記憶：彈簧的并聯(lián)相當(dāng)于電阻串聯(lián)的情況，這樣便于記憶）

串聯(lián)：

4. 衰減振動：

      自由振動受到阻尼作用的振動。即：如下表述，存在公式：

對象是上述自由振動系統(tǒng)受到阻尼作用的情形。

1）其運動微分方程，其中n是衰減系數(shù)（實質(zhì)是頻率1/s）。

常見n <p₀，振動方程如圖：

關(guān)鍵也是知道運動特點：

2）（掌握）阻尼對自由振動的影響：

a. 周期影響：周期加大；《1，認為周期不變。

b. 振幅影響：振幅隨時間按照指數(shù)規(guī)律衰減。衰減顯著。見下式：

衰減曲線見：

（二）強迫振動（受迫振動）

由干擾力引起的振動，稱為強迫振動。

若干擾力隨時間而簡諧變化，則稱為諧擾力，其可表為s=hsinωt。

現(xiàn)以系統(tǒng)的平衡位置為坐標原點，以坐標x為獨立參數(shù)，將受諧擾力作用下的強迫振動的主要內(nèi)容列于下表。

表中表示系統(tǒng)在干擾力的最大幅值h靜止作用下所產(chǎn)生的偏移；z=ω/p稱為頻率比；n稱為阻尼系數(shù)，γ=n/p稱為阻尼比。

表中參數(shù)列分兩欄，n=0，阻尼為零的強迫振動，n<p是欠阻尼的強迫振動。

重點記憶強迫振動特性小結(jié)：

(1)強迫振動的頻率與干擾力的頻率相同，與系統(tǒng)的固有圓頻率p無關(guān)，且不受阻尼影響。

(2)在有關(guān)參數(shù)p、n、ω、h確定后，振幅b是一個常數(shù)，強迫振動是一個等幅的簡諧振動，不會因阻尼而衰減。

(3)在有阻尼的情況下，強迫振動總是滯后于干擾力一個位相差ε。

(4)強迫振動的振幅b與位相差ε，都與運動的初始條件無關(guān)。（自由振動中是相關(guān)的），取決于系統(tǒng)的固有頻率，阻尼，激振力的幅值及頻率。

(5)共振：ω=p，a最大。

 

（三）例題

[例4-3-19]  圖4-3-54所示的懸臂梁，在自由端上掛一彈簧，彈簧上懸掛一重p的物體。設(shè)在力p作用下彈簧的靜伸長為δst，梁的自由端的靜撓度為fst。如給重物一初速度v₀，試求重物的自由振動方程。梁和彈簧的質(zhì)量均忽略不計。

 [解]  懸掛在梁上的物體，可以隨懸梁上下振動。懸臂梁對物體的作用相當(dāng)于一彈簧，根據(jù)懸臂梁端點的靜撓度fst可算出此梁在端點沿鉛垂方向的剛性系數(shù)為

類似地，可算出懸掛彈簧的剛性系數(shù)為

于是，圖4—3—54(a)所示振動系統(tǒng)可以抽象為圖4—3—54(b)所示的串聯(lián)彈簧系統(tǒng)。又因串聯(lián)彈簧可用一等效彈簧來替代，其當(dāng)量剛性系數(shù)為

最終該系統(tǒng)可簡化為圖4—3—54(c)所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。現(xiàn)以此力學(xué)模型進行求解。

(1)對象。取重物為研究對象。

(2)運動分析：重物由于初始干擾，沿鉛垂方向作自由振動。為了簡便，選取重物的靜平衡位置o為坐標原點（只有這樣運動微分方程才滿足標準形式的運動方程），x軸向下為正。t=0時x₀=0，。

(3)受力分析。通常，將重物放在x軸正向的任一位置上進行受力分析。作用其上的力有重力p和彈性力f，力f在x軸上的投影為

(4)列運動微分方程，并求解振動規(guī)律。由f=ma得

因重物處于靜平衡位置（x=o）時，重力p與靜變形引起的彈性力f₀平衡，即有

故上式可簡化為

即

（*）

式中

由表4—3—11所示的公式，可知式(*)的通解為

根據(jù)初始條件x₀=0，，可分別求得振幅a及初位相α為

此重物的自由振動方程可表示為