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點的合成運動和剛體的平面運動

三、點的合成運動

這部分內(nèi)容，主要是應(yīng)用運動的合成與分解的概念，研究同一動點相對于兩個不同參考系的運動之間的關(guān)系，即在不同的參考系中看同一動點的運動，他們之間的關(guān)系。從而建立了點的速度合成定理和加速度合成定理。

 

（一）靜系·動系

固結(jié)在某一參考體上的坐標(biāo)系oxyz稱為靜坐標(biāo)系，簡稱靜系。

我們常說的是慣性參考系是地球，所以地球表面上的坐標(biāo)系作為靜系。

固結(jié)于相對靜系運動的參考體上的坐標(biāo)系o’x’y’z’稱為動坐標(biāo)系，簡稱動系。

 

（二）三種運動·三種速度·三種加速度

我們常說質(zhì)點的運動都是相對于慣性參考系——靜系——的運動。

 

動點相對于靜系的運動稱為絕對運動。即相對于慣性參考系的運動。對應(yīng)絕對速度和絕對加速度。

 

動點相對于動系中的軌跡、速度和加速度稱為動點的相對軌跡、相對速度和相對加速度，并以v_a和a_a分別表示此速度和加速度。

 

兩個坐標(biāo)系、動系相對靜系的運動稱為牽連運動。

在某一瞬時，動系上與動點相重合的一點稱為動點在此瞬時的牽連點。牽連點的速度和加速度稱為動點在該瞬時的牽連速度和牽連加速度，并分別以v_r和a_r表示之。

 

上述三種運動的關(guān)系如圖4—2—8所示。即動點的絕對運動可視為相對運動與牽連運動的合成運動。反之，動點的絕對運動也可分解為牽連運動和相對運動。

（三）點的速度合成定理

可以證明，動點的三種速度v_a，v_e，v_r之間有如下關(guān)系式：

v_a=v_e+v_r

即動點的絕對速度等于它的牽連速度和相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理。根據(jù)此定理可知v_a，v_e，v_r構(gòu)成一速度平行四邊形，其對角線為絕對速度va。

 

由于每個速度矢量包含大小和方向二個量，因此上式總共含有六個量，當(dāng)已知其中任意四個量時，便可求出其余兩個未知量。

應(yīng)當(dāng)指出，由于存在相對運動，所以不同瞬時，動系上與動點相重合的那一點即牽連點，在動系上的位置也隨之而變化的。

 

（四）點的加速度合成定理

動點的加速度合成與牽連運動的性質(zhì)有關(guān)，當(dāng)牽連運動為平動或轉(zhuǎn)動時，動點的加速度合成定理如下：

 

牽連運動為平動：

a_a=a_e+a_r

牽連運動為轉(zhuǎn)動：

a_a=a_e+a_r+a_k

式中a_k稱為科氏加速度。它是由于牽連運動與相對運動相互影響而產(chǎn)生的。a_k的矢量表達(dá)式為

a_k=2ω×v_r

其中ω為動系的角速度矢。設(shè)ω與v_r間的夾角為θ (圖4—2—9)，則a_k的大小為

a_k=2ωv_rsinθ

a_k的指向由ω與v_r的矢積確定。

 

對于平面機(jī)構(gòu)，因a_a、a_e、a_r和a_k等各加速度矢都位于同一平面中，所以運用加速度合成定理只能求解大小或方向共兩個未知量。由于a_a或a_e或a_r都可能存在切向與法向兩個加速度分量，因此在求解中，常應(yīng)用合矢量投影定理進(jìn)行具體計算。

（五）應(yīng)用速度或加速度合成定理解題的一般步驟和方法

1．分析機(jī)構(gòu)的運動情況，根據(jù)題意適當(dāng)?shù)剡x取動點、動系和靜系。

在一般機(jī)構(gòu)中，通?？蛇x取傳遞運動的接觸點為動點，與其鄰接的剛體為動系。

 

2．分析絕對運動、相對運動和牽連運動。

絕對運動和相對運動都是指動點的運動。分別指在靜系和動系坐標(biāo)上看到的動點的運動。而牽連運動是指動系的運動，也就是固結(jié)著動系的剛體相對靜系的絕對運動。

 

3．分析動點的各種速度或加速度，圖示速度或加速度矢量圖。

動點的v_a、a_a和v_r、a_r一般可以根據(jù)其絕對運動和相對運動進(jìn)行分析。

 

4．根據(jù)速度和加速度合成定理求解。

(1)運用a_e=v_e+v_r，求解未知量時，一般可應(yīng)用幾何法，畫矢量圖解。

(2)應(yīng)用加速度合成定理時，首先要區(qū)分牽連運動是平動還是轉(zhuǎn)動，然后列出相應(yīng)的矢量式，即

a_a=a_e+a_r，或a_a=a_e+a_r+a_k，所以，通常應(yīng)用合矢量投影定理進(jìn)行具體計算。

（六）例題

[例1]  曲柄oa長為r，以勻角速度ω繞軸o逆時針向轉(zhuǎn)動，從而通過曲柄的a端推動滑桿bc沿鉛直方向上升，如圖4—2—10所示。求當(dāng)θ=60⁰時，滑桿bc的速度和加速度。

[解]  ：關(guān)鍵找牽連點

a相對地面做繞o的轉(zhuǎn)動

同時在bc這個動坐標(biāo)系上

a點是牽連點

 

1. 選取靜系和動系：取oa上的a點為動點，滑桿bc為動系。

2. 確定三種運動

動點a的絕對運動是圓周運動；

相對運動是水平直線運動；

牽連運動是滑桿bc的平動。

3. 矢量三種運動的關(guān)系

動點a的速度和加速度矢量圖如圖4—2—10所示。

a的絕對運動是勻速圓周運動，所以加速度只有向心加速度，也就是他的實際的加速度（合加速度）；

相對運動是直線運動，所以加速度沿水平方向；

牽連運動是豎直方向的平動，加速度方向沿豎直方向；

 

由圖4—2—10所示的速度和加速度平行四邊形，得滑桿bc的速度v和加速度a的大小為

方向如圖示。

   

解題的關(guān)鍵是選擇牽連點。如果本題取滑桿上的a₁點為動點，oa桿為動系。則a₁點的相對軌跡顯然不是一條水平直線。

我們可以這樣思考，設(shè)桿oa不轉(zhuǎn)動，僅bc桿運動，則a₁點相對桿oa作鉛垂直線運動；反之，若桿bc不動，僅oa桿轉(zhuǎn)動，則a₁要相對桿oa作順時針向的圓周運動。圓周運動成為牽連運動。

實際上，桿oa與bc同時在運動，故a_l點相對桿oa的相對運動應(yīng)是鉛垂直線運動和圓周運動的合成運動。那么在加速度計算中，除多一項ak外，還因相對軌跡未知，造成了arn的計算困難。

合適選取牽連點。

[例2]  圖示平面機(jī)構(gòu)中，桿ab以勻速u沿水平方向運動，并通過滑塊b推動桿oc轉(zhuǎn)動。試求α=60⁰時，滑塊b相對桿oc的加速度和桿oc的角加速度。

 

[解] 

這也是一個典型的合成運動題。在此直接選定b為牽連點。

 

1. 選擇牽連點，選擇靜系和動系： 取滑塊b為動點，桿oc為動系。

2. 確定三種運動：

動點的絕對運動是水平直線運動；

相對運動是沿桿oc的直線運動；

牽連運動是桿oc繞軸o的轉(zhuǎn)動。

3. 運動的矢量分析

動點b的速度分析如圖4-2-11所示。由圖示的幾何關(guān)系，得

因ob=b／sina，則α=60⁰時，桿oc的角速度為

轉(zhuǎn)向順著ve的指向，如圖4—2—11所示。

本體中的牽連運動為圓周運動。

根據(jù)牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理，可作出動點b的加速度矢量圖如圖4—2—12所示。

 

因a_a=0，a_a=a_e+a_r+a_k

故得

式中

將上述矢量式分別向x軸和y軸投影，得

由此可解得桿oc的角加速度ε和a_r分別為

應(yīng)當(dāng)注意，圖中標(biāo)示的ε轉(zhuǎn)向要與aeτ的指向保持一致，故ε得負(fù)值，表示與圖示的ε轉(zhuǎn)向相反，即為逆時針轉(zhuǎn)向。

 

若將角α視為變量，求v_r和ω對時間的一階導(dǎo)數(shù)，則亦可解得a_r和ε，即

因ω的轉(zhuǎn)向與α正向相反，故有dα／dt=－ω，將此關(guān)系式和α=60⁰代入以上二式，則得

這里a_r取正值，表示與v_r方向一致；

ε取負(fù)值，表示與ω轉(zhuǎn)向相反。此結(jié)果與上述結(jié)果相同。

 

注意，關(guān)系式a_eτ=dv_e/dt是不成立的。因v_e=usinα是反映了不同瞬時的牽連點的速度與角α的函數(shù)關(guān)系，并不表示圖示瞬時牽連點的速度的函數(shù)關(guān)系，故dv_e／dt不是圖示瞬時牽連點的切向加速度。但當(dāng)牽連運動是平動時，a_eτ=dv_e/dt是成立的。其理由請讀者自行思考。

四、剛體的平面運動

應(yīng)用合成運動的概念，將剛體的平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動，并據(jù)此來研究平面運動剛體的角速度、角加速度及其剛體上任一點的速度和加速度。

（一）剛體的平面運動方程

1．平面運動的特點

在運動過程中，剛體上任一點離某固定平面的距離始終保持不變，稱這種運動為剛體的平面運動。

剛體的平面運動可以簡化為一平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動。

2．運動方程

設(shè)平面圖形s在固定平面oxy內(nèi)運動(圖4－2—15)，顯然，圖形s的位置完全由其上任一線段o’m的位置所確定。這就是說，圖形s在任一瞬時的位置可用任一點o’的坐標(biāo)xo’、yo’及o’m與x軸正向間的夾角φ來表示。即剛體的平面運動方程可寫為

通常，將o’點稱為基點。

（二）平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動

 

若取oxy為靜系，平面圖形上任一點o’為基點，并在o’點上固結(jié)一隨其作平動的動系o’x’y’(圖4—2—15)。則圖形s的相對運動為繞基點o’的轉(zhuǎn)動；圖形的絕對運動就是平面運動；而牽連運動為動系隨基點o’的平動。由此可見，平面圖形s的運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。為了方便，在下面敘述中，一般將不再圖示動系和靜系。

應(yīng)當(dāng)注意，平面運動隨同基點的平動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，而繞基點的轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點的選擇無關(guān)。因此，在論及角速度和角加速度時，無需指明它們是對哪個基點而言的，并可統(tǒng)稱為圖形的角速度和角加速度。又因動系作平動，故在動系中觀察到圖形的角速度與角加速度就是圖形相對靜系的絕對角速度和絕對角加速度。

 

 

（三）平面圖形內(nèi)各點的速度

平面圖形內(nèi)各點的速度有三種求解方法，如表4—2—7所示。通常，瞬心法和投影法應(yīng)用較多。

表中，關(guān)系式稱為速度投影定理，該定理對任何運動形式的剛體都是適用的。由于它是一個代數(shù)方程，故根據(jù)此定理可求出式中一個未知量。

由瞬心法所表述的關(guān)系式可知，當(dāng)以速度瞬心c為基點時，平面圖形上各點的速度分布規(guī)律與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時一樣。因此，平面圖形在任一瞬時的運動可以看成繞速度瞬心c的瞬時轉(zhuǎn)動。于是，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心，圖形上任—點m與c點的連線，稱為瞬時轉(zhuǎn)動半徑。顯然，在不同瞬時，平面圖形具有不問的速度瞬心。

瞬心法的關(guān)鍵是確定平面圖形在每一瞬時的瞬心位置，表4—2—8給出了按巳知運動條件，確定平面圖形速度瞬心c的幾種方法.

表 4-2-8

 

 

應(yīng)該注意，剛體作瞬時平動時，其各點的速度相等，角速度為零。但此瞬時，剛體各點的加速度并不相同，且角加速度亦不為零。

（四）平面圖形內(nèi)各點的加速度

由牽連運動為平動時的點的加速度合成定理，可得平畫圖形上任一點m的加速度關(guān)系式為

稱此為加速度合成法或基點法。式中a_o’為基點o’的加速度；相對切向加速度大小，方位垂直o’m，指向順著角加速度ε的轉(zhuǎn)向；相對法向加速度大小，方位沿著o’m連線，并總是指向基點o’。

上式是一個平面矢量等式，故可用以求解式中兩個未知量。

 

（五）平面運動分析的內(nèi)容和方法

研究平面運動剛體的運動，主要是分析剛體的角速度ω、角加速度ε及其體上一點的速度v、加速度a。由于在實際機(jī)構(gòu)中，平面運動剛體通常與平動剛體、定軸轉(zhuǎn)動剛體等組成平面機(jī)構(gòu)，因而平面運動剛體的運動分析問題，常常包含在平面機(jī)構(gòu)的運動分析之中。這就是說剛體所涉及到的運動學(xué)問題，通常是綜合性問題，需要靈活應(yīng)用運動學(xué)知識加以分析。下面結(jié)合平面機(jī)構(gòu)運動分析，著重將平面運動剛體的運動分析的內(nèi)容和步驟歸納如下。

1．根據(jù)機(jī)構(gòu)的約束條件，判斷各剛體的運動類型，即哪些剛體作平動，哪些剛體作定軸轉(zhuǎn)動或平面運動，或純滾動。

同時，弄清相鄰兩剛體的連接情況，相鄰兩剛體是通過連接點(如鉸接點)還是接觸點(如凸輪與挺桿的接觸點)進(jìn)行運動傳遞的?若是接觸點，相接觸的兩點之間是否有相對運動?在運動過程中，接觸點是否有變化?等等。

2．明確求解思路。

一般，從已知運動的剛體著手，通過連接點或接觸點的運動分析，求解指定剛體或點的運動。

一般來說，連接點的運動，可用剛體運動知識進(jìn)行分析；

接觸點的運動可用點的合成運動概念進(jìn)行分析。

但應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)牽連運動為剛體的平面運動時，應(yīng)有科氏加速度存在。此外，有時運用點的運動學(xué)知識直接求解更為方便。

3．平面圖形的角速度及其剛體上任一點的速度分析。

通常，點的速度求解，可應(yīng)用速度投影定理或速度瞬心法，或兩者綜合應(yīng)用；

圖形的角速度求解，可用速度瞬心法。

但當(dāng)給出的題意條件不能選用此兩種方法求解未知量時，則可選用速度合成法。

 

在求解過程中，應(yīng)注意下面幾點。

    (1)根據(jù)選用的求解方法，圖示必要的運動元素及幾何關(guān)系。

    (2)在應(yīng)用速度合成法時，點的絕對速度必須是速度平行四邊形的對角線；

在應(yīng)用速度投影定理時，所選的兩點必須在同一平面圖形上；

在應(yīng)用速度瞬心法時，要正確地找出圖形的速度瞬心位置，且圖形的瞬心位置將隨時間而改變。

 (3)剛體的平動和平面圖形的瞬時平動兩者不可混淆。

平動剛體的角速度和角加速度均為零，其體上各點的速度和加速度均相等；

而瞬時平動是指某瞬時，該平面圖形的角速度等于零，但角加速度不等于零；其體內(nèi)各點的速度相等，但各點的加速度不等。

 

4．平面圖形的角加速度及其體上任一點的加速度分析。運用加速度合成法求解時，應(yīng)考慮如下幾方面問題。

(1)在作加速度分析以前，為了便于解得各法向加速度，一般先作速度分析，求出圖形的角速度及其體上相應(yīng)點的速度。

    (2)選已知點作為基點，根據(jù)加速度合成法列出所求點的加速度矢量式，并據(jù)此在該點處圖示各項加速度矢量。這里，應(yīng)提請注意，由于速度瞬心的加速度并不等于零。因此，在圖示加速度時，切不可將速度瞬心誤作為加速度瞬心處理。

(3)用加速度合成法建立的加速度矢量等式是一個平面矢量等式，故據(jù)此等式只能求解兩個未知量，且通常是選用合矢量投影定理進(jìn)行具體計算。

(4)半徑為r、圓心為o的圓輪，沿固定面作純滾時，其與固定面的接觸點c的速度和加速度為v_c=0和a_c≠0，且有關(guān)系式ω₀=v₀/r和ε₀=。

（六）例題

[例3 在圖4—2—16所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄oa以角速度ω和角加速度ε繞o軸轉(zhuǎn)動,并通過連桿帶動滑塊b在圓形槽內(nèi)滑動。如oa=r,ab=2r,且圖示瞬時，α=30º，φ=60°，求在該瞬時，滑塊b的切向和法向加速度。

[解]  桿ab作平面運動，

 

v_a,v_b互相不垂直：參見兩個速度互相不垂直，求速度瞬心的方法：做垂直于兩者速度方向的直線，他們的交點就是速度瞬心。

 

得到其圖示位置的速度瞬心為點c，故由速度瞬心法得b點的速度大小

（或者用投影法自己求解，a，b速度在ab上的投影相等）

方向如圖。桿ab的角速度大小為

轉(zhuǎn)向為逆時針向。

以上可以作為一個選擇題

 

于是，b點的法向加速度大小為

（a_n=v²/r, r是圓周半徑，是cb的一半，或者叫曲率半徑）

方向如圖。

 

為求，現(xiàn)根據(jù)加速度合成法列出a_b的表達(dá)式

將上式投影到x軸上，得

式中（以a為基點，b相對于a定軸轉(zhuǎn)動）

代入上式，并經(jīng)整理后得b點的切向加速度大小為

若(2ε—)>o，則圖示的指向是正確的，否則反之。

注意，b點繞o1點作圓周運動的角速度ωl和角加速度ε1與桿ab的ωab和εab是不同的。

[例4]  圖示機(jī)構(gòu)由曲柄連桿機(jī)構(gòu)使齒條i作往復(fù)直線運動。曲柄oa繞軸o順時針向轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)速為n=60r／min，oa=10cm，ab=20cm齒輪o₁、o₂上下均與齒條嚙合。求當(dāng)φ=90°時，齒條i的速度和加速度。

      [解]  圖示為一多構(gòu)件組成的平面機(jī)構(gòu)。由題意知，曲柄oa以勻角速度

繞o軸轉(zhuǎn)動；

桿o₁o₂和齒條i均作平動；

齒輪o₁、o₂和連桿ab均作平面運動。

在圖示位置，桿ab作瞬時平動，齒條i的運動可取與齒輪嚙合的一點m代之。

 

在具體解算時，一般可依照運動傳遞的順序，從已知構(gòu)件即曲柄的運動著手，通過連接點a、b和o₂的運動分析，求得齒條上m點的速度和加速度。

a——b——o₂——m

 

a的運動

因曲柄oa作勻速轉(zhuǎn)動，所以有

（這是因為a勻速轉(zhuǎn)動，只有法向加速度）

b的運動

b的速度？

由于圖示位置桿ab作瞬時平動，故該瞬時桿ab的角速度

b點的速度大小為

方向與v_a相同。

求b點的加速度？

b點的加速度a_b（以a為基點），由加速度合成法得

（b相對于a做定軸轉(zhuǎn)動）

將上式投影到x軸上，并注意到

故有

即

方向如圖4—2—17所示。

 

求o₂點的速度和加速度？

由此可算得平動桿件為o₁o₂上一點o₂的速度、加速度為

 

求m點的速度和加速度？

接觸點為速度瞬心。

因輪o₂與上下兩齒條均無相對滑動，故c₂為輪o₂的速度瞬心，并由速度瞬心法求得m點的速度為

方向如圖。

顯然，在運動過程中，關(guān)系式v_m=2v_b始終成立。因此，將此式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，即可得m點的加速度為

方向如圖。

    上述，v_m和a_m即為齒條i的速度和加速度。