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第二節(jié)        運動學(xué)

點的運動方程，軌跡，速度，加速度，切向加速度和法向加速度

剛體：平動和繞定軸轉(zhuǎn)動，角速度，角加速度 ，剛體內(nèi)任一點的

速度和加速度

 

運動學(xué)只研究運動的幾何性質(zhì)，包括物體在空間的位置隨時間變化的規(guī)律、物體的運動軌跡、速度和加速度等。

在研究某一物體運動時，必須選擇一個參考體。如不加特別說明，地球參考系。

所謂點是指不計大小和質(zhì)量的幾何點。而剛體是由無數(shù)個點組成的不變形的物體。

一、點的運動

點的運動是研究點相對于某一選定參考系的運動規(guī)律，包括點的運動方程、軌跡、速度和加速度等。

坐標(biāo)；描述點的運動有矢量法、直角坐標(biāo)法和自然法等。

點的運動軌跡已知時，采用自然法；點的運動軌跡未知時，采用直角坐標(biāo)法。

（一）點的運動的矢量法

設(shè)動點m在空間作曲線運動，任選某固定點o為參考點(圖4—2—1)，由定點o向動點m引一矢徑r，則動點的運動方程、速度和加速度為

（二）點的運動的直角坐標(biāo)法

過定點o建立一直角坐標(biāo)系oxyz。設(shè)動點m在瞬時t的坐標(biāo)為x、y、z，其矢徑為r(圖4—2—1)，則以直角坐標(biāo)表示的動點的運動方程、速度和加速度如表4—2—1所示。

表中的運動方程實際上就是以t為參數(shù)的軌跡參數(shù)方程。如果從這些方程中消去t， 則關(guān)于平面上xy（或者yz）關(guān)系的方程即為動點的軌跡方程，即

此兩方程分別表示兩個柱形曲面，它們的交線就是動點的軌跡。（坐標(biāo)間位置）

 

若點作平面曲線運動時，取其軌跡所在平面為oxy，則恒有z=0；

相應(yīng)地，若點作直線運動時，取其軌跡為x軸，則恒有y=z=0。

因此表4—2—1所列公式完全適用于這兩種點的運動。

（三）點的運動的自然法

 

在動點運動的軌跡上任取一定點o’作為原點，并規(guī)定量取弧長s的正方向(圖4—2—1)，將此弧長的代數(shù)值稱為弧坐標(biāo)。同時在動點m處引入自然軸系，這樣，以自然法表示的動點的運動方程、速度和加速度如表4—2—2所示。

表4—2—2中公式表明，動點的速度方向是沿著動點軌跡的切線方向。若ds／dt>0，則速度指向切線的正向；反之，速度指向切線的負向。動點的加速度a處于τ和n組成的密切面內(nèi)。其中，法向加速度an表明速度方向隨時間的變化率，其方向沿著動點的主法線，且指向軌跡曲線的曲率中心。切向加速度aτ表明速度的大小隨時間的變化率，其方向沿著動點在軌跡上的切線方向。若dv／dt>0，則aτ指向τ的正向；若dv／dt<0，則指向τ的負向。

注：

1）弧長s是標(biāo)量，但是有正負。一般規(guī)定運動的方向為正，相反為負。

2）自然坐標(biāo)是三維的，但是描述運動的量僅在二維內(nèi)。如加速度，包括了運動切向方向的加速度和法向方向的加速度。對應(yīng)關(guān)系見表4-2-2.

3）由加速度的方向不能直接判斷運動是加速還是減速運動，與質(zhì)點運動的初速度有關(guān)。當(dāng)aτ與v同號時，動點作加速曲線運動；反之為減速曲線運動。

 

（四）勻速和勻變速曲線運動

  速度v=常量的曲線運動，稱為勻速曲線運動；切向加速度aτ=常量的曲線運動，稱為勻變速曲線運動。

  設(shè)t=0時，動點的初速度和初弧坐標(biāo)分別為vo和so，則s、v、aτ、an和t等各運動量之間的關(guān)系式如表4—2—3所示。

當(dāng)動點沿f軸作勻速直線運動或勻變速直線運動時，表4—2—3所示的關(guān)系式仍可適用，只需在這些式中分別用a、xo、x代替aτ、s₀、s。顯然，對直線運動而言，動點的曲率半徑ρ＝無窮大，故恒有an＝0。

可以直接對比直線的運動——勻速直線運動和勻變速直線運動——的公式記憶，不同的是位移的區(qū)分：線位移和弧位移。

（五）點的運動學(xué)問題的常見類型

1．已知點的運動方程求點的速度、加速度和軌跡等。

這類問題的關(guān)鍵是如何正確建立點的運動方程。為此，首先要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并把動點置于一般位置。為了避免符號上的差錯，一般將動點放在直角坐標(biāo)的第一象限或弧坐標(biāo)的正向。其次，根據(jù)約束的幾何條件(包括不變的繩長、機構(gòu)裝配的幾何關(guān)系等)，并運用幾何學(xué)的知識建立動點的運動方程。最后，對動點的運動方程作求導(dǎo)運算，即可得點的速度、加速度，并利用有關(guān)公式可解得曲率半徑和其他未知量。

2．已知動點的加速度求動點的速度和運動方程等。

這類問題的基本運算方法是積分，其積分常數(shù)由運動的初始條件(即t=t0時，動點的位置和速度)確定。

為便于進行定積分運算，有時要適當(dāng)?shù)剡M行變量置換。即把a用適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)形式來表示，使微分方程僅包含兩個變量，并可分別分離在微分方程等式的兩邊，逐次積分，即可得動點的速度和運動方程。現(xiàn)以動點沿i軸的直線運動為例，將加速度方程的變量分離方法列于表4—2—4中。

  

由表4—2—4可知，將速度寫成=dx/dt，并代人速度方程，再積分一次就可得到相應(yīng)的運動方程x=f(t)。

 

3．各種描述方法相結(jié)合的綜合問題。對于這類問題，要求能靈活而熟練地運用各種描述方法所給出的關(guān)系式。如已知直角坐標(biāo)法描述的點的運動方程(包括軌跡方程)，求點沿軌跡的運動方程、切向加速度、法向加速度和曲率半徑p等。

現(xiàn)以點的平面曲線運動為例，圖示這一問題的求解途徑(圖4－2—2)。圖中虛、實線分別圖示了某些物理量的兩種求解方法。

在實際問題中，點的運動學(xué)問題的類型頗多，讀者應(yīng)根據(jù)具體情況靈活應(yīng)用上述各表所示的各種關(guān)系式進行解算。

(六)例題

（2010年真題）1.已知致電沿著半徑為40cm的圓周運動，其運動規(guī)律為：s=20t（s以cm計，t以s計），若t=1s，則點的速度與加速度的大小為：

(a)20cm/s；10√2cm/s²

(b) 20cm/s；10cm/s²

(c) 40cm/s；20cm/s²

(d)40cm/s；10cm/s²

（2010年真題）2.已知動點的運動方程為x=2t，y=t²-t，則其軌跡方程為：

(a)y= t²-t

(b) x=2t

(c)x²-2x-4y=0

(d) x²+2x+4y=0

二、剛體的基本運動

    剛體的基本運動包括剛體的平行移動(簡稱移動或平動)和定軸轉(zhuǎn)動，它主要研究剛體的運動規(guī)律和剛體的運動與其體上各點運動之間的關(guān)系。

（一）剛體的平動

在剛體運動過程中，其上任一直線始終與它原來的位置保持平行，稱這種運動為剛體的平動，如果體內(nèi)各點的軌跡是直線，則稱為直線平動；如果體內(nèi)各點的軌跡是曲線，則稱為曲線平動。

剛體作平動時，體內(nèi)各點的軌跡形狀相同，在每一瞬時，各點具有相同的速度和加速度。因此，整個剛體的運動，完全可由體內(nèi)任一點的運動來確定。

（二）剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體運動時，體內(nèi)(或其延展部分)有一直線始終保持不動，稱這種運動為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。保持不動的那條直線稱為轉(zhuǎn)軸或轉(zhuǎn)動軸。表4—2—5列出了轉(zhuǎn)動剛體的運動學(xué)公式。

表中，角φ稱為剛體的轉(zhuǎn)角，單位為rad(弧度)。轉(zhuǎn)角φ和角速度ω均是一個代數(shù)量，可根據(jù)右手法則確定其正負號(圖4—2—6a)。角速度ω的大小表示了轉(zhuǎn)動的快慢，其正負號表明了剛體轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)向。角速度的單位為rad/s(弧度／秒)。

 

剛體可以看做質(zhì)點系，繞定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)做半徑不同的圓周運動。可以用自然坐標(biāo)系的弧長表示位移。對于圓周而言，弧長s=rφ，所以我們在此引入角量描述剛體。φ是轉(zhuǎn)角，叫角位移，dφ/dt為角速度，d²φ/dt²為角加速度。

 

工程上常用轉(zhuǎn)速n來表示轉(zhuǎn)動快慢，其單位為rpm或r／min(轉(zhuǎn)／分)。角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系為

角加速度ε也是代數(shù)量，其正向與轉(zhuǎn)角φ的正向一致。代數(shù)量的正負號表示了ε的轉(zhuǎn)向。顯然，當(dāng)ε與ω同號時，剛體作加速轉(zhuǎn)動；當(dāng)ε與ω異號時，剛體作減速轉(zhuǎn)動。角加速度的單位為rad／s²(弧度/秒²)。

  

應(yīng)當(dāng)指出，角速度和角加速度可以用沿著轉(zhuǎn)軸的一個滑動矢量來表示，角速度矢ω和角加速度矢ε的指向，可根據(jù)它們代數(shù)量的正負號按右手法則確定(圖4—2—6a)。

（三）轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度

轉(zhuǎn)動剛體與其體上任一點m的運動學(xué)關(guān)系如表4—2—6所示。

表中，α為加速度矢a與轉(zhuǎn)動半徑om之間的夾角(圖4—2—6b)。由表中各式可知，在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的速度和加速度的大小都與轉(zhuǎn)動半徑r成正比，且各點的加速度與轉(zhuǎn)動半徑成相同的夾角。

 

（四）剛體基本運動的問題類型

1．研究平動剛體的運動規(guī)律。

因平動剛體的運動學(xué)問題可歸結(jié)為點的運動學(xué)問題來研究，故一般取傳遞運動的接觸點或連接點作為分析對象。應(yīng)當(dāng)注意，剛體作曲線平動時，各點有各自的曲率中心和自然軸系，這一點在圖示平動剛體各點的運動元素時，要多加注意。

2．研究轉(zhuǎn)動剛體及其體上一點的運動規(guī)律。

(1)求ω和ε或轉(zhuǎn)動剛體上某一點的v和a。

這類問題，若已知轉(zhuǎn)動方程，則可通過求導(dǎo)得到相應(yīng)的ω和ε，從而求出剛體上某點的v和a；或已知轉(zhuǎn)動剛體上某點的運動方程，用上述類似方法可求得體上其他點的v和a及剛體的ω和ε。

(2)求轉(zhuǎn)動方程或剛體上一點的運動方程。

這類問題一般可通過對已知的ε方程或體上一點的a方程，進行積分運算得以解決。但尚須已知運動的初始條件，即t=0時，轉(zhuǎn)角φ。和角速度ω。或弧坐標(biāo)s。和初速度v。

歷年題：

（2010年真題）直角剛桿oab在圖示瞬時角速度w =2rad/s，角加速度ε=5rad/s²，若oa=40cm，ab=30cm，則b點速度的大小、法向加速度的大小和切向加速度的大小為：

(a )100cm/s；200cm/s²；250cm/s²；

(b )80cm/s；160cm/s²；200cm/s²；

(c)60cm/s；120cm/s²；150cm/s²；

(d)100cm/s；200cm/s²；200cm/s²；

選（a）

考核：剛體定軸轉(zhuǎn)動時剛體上任一點的速度和加速度（切向加速度和法向加速度）