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1.      平衡——平衡力，受力圖，力系的等效和簡化

力的等效和簡化中注意：力的投影和力的分力是兩個不同的概念，僅在直角坐標系中兩者才相等。如：2010年試卷中的

β

分析：投影是力的大小乘以力與該軸的正向間的夾角的余弦。

f在y軸上的投影fy=fcosβ。β=90^。，fy=0

 

而f在x軸上的分力，只對求解另外一個分力有用。相當于已知合力和一個分力，求另一個分力的問題。

 

2.      平面力系的簡化：

 

共交力系：合力

a）閉合的矢量圖形時，合力為零；

b）一般建立直角坐標系，求它們在兩個軸上的投影的代數(shù)和。

 

平面任意力系（包含共交力系）：力和力矩

1）合力，與作用點無關，平移力到一點形成公交力系合成；

2）力矩與所選擇的點有關。所以計算力矩的時候，最好保持原來位置計算。 如：

如2010年48題：

 

解析：（a）

三個力首尾順次相連。（幾何法），合力為零。

但是三個力不是平面的共點力，所以不是平衡力，說明有力矩（力偶）存在。

答案中的力矩以a為軸，m_a（f_ac）=m_a（f_ab）=0 ， m_a=m_a（f_bc）

3.平面力系的平衡條件和平衡方程式：（力矩，力偶）

六、物體系統(tǒng)的平衡

實質：

物體進行受力分析，應用力系平衡方程式求解。

（一）   靜定平衡問題

靜定：若n個未知量，有n個獨立平衡方程的數(shù)目，則應用剛體靜力學的理論，就可以求得全部未知量

         靜不定是指未知量大于獨立平衡方程數(shù)目的情形。這不屬于掌握范疇。

（二）物體系統(tǒng)平衡問題的解法和步驟

1． 選取研究對象。

先整體后部分。便于求解。

2．分析研究對象的受力情況并畫受力圖。

受力完整：在各物體的拆開處，物體間的相互作用力必須符合作用與反作用定律。

實際受力：畫物體系統(tǒng)中某研究對象的受力圖時，遵循實際受力，不能將作用在系統(tǒng)中其他部分上的力移動和合成。

3．列出平衡方程。

適當選取投影軸和矩軸(或矩心)，可大大簡化計算。

投影軸應盡量選取與力系中多數(shù)未知力的作用線垂直；而矩軸應使其與更多的未知力共面(矩心應選在多數(shù)未知力的交點上，力矩=0)。

4．解平衡方程求未知量。

若求得的約束反力或反力偶為負值，說明力的指向或力偶的轉向與受力圖中的假設相反。若用它代入另一方程求解其他未知量時，應連同其負號一起代入。

（三）例題

【 例 4—1—l】  圖4—1—12a所示為一三鉸剛架，其頂部受沿水平方向均勻分布的鉛垂荷載的作用，荷載集度為q=8kn／m。已知：l=12m；h=6m；a=2m，求支座a、b的約束力。剛架自重不計。

【解】 以整體為研究對象，受力圖如圖4—1—12b所示。

列平衡方程（y_b的力矩，逆時針方向，記為正；平行分布的線載荷的力矩-負）

取bc部分為研究對象，受力圖如圖4—1—12c所示。列平衡方程為

負號表示xb的指向與圖中假設相反。

    再以整體為對象，列平衡方程

以上每一個解答（提問）都可以作為一個選擇題目來考。

 

【例4—1—2】  物重q=12kn，由三桿ab、bc和ce所組成的構架及滑輪e支持，如圖4—1—13a所示。已知：ad=db=2m，cd=de=1.5m。不計桿及滑輪的重量，求支座a和b的約束反力以及bc桿的內(nèi)力。

【解】  以整體為對象，其受力圖如圖4-1-13b所示。

設滑輪半徑為r，(其中對于平衡的定軸e而言： t=q)

求s，選擇d為轉軸,:

（m_d(x_d)= m_d(y_d)= m_d (x_a)=0, m_d(scosa)=0, 不要考慮）, 列力矩平衡方程

2 ssina+2n_b-2y_a=0, s=15kn.

 

解析：（c）

平行力系的平衡方程。

分別列ma=0，mb=0的力矩平衡方程。

m_a：-qa*a/2+qa*3a/2+f_b*2a=0， f_b=-qa/2.

m_b:-qa*a/2+ qa*3a/2+f_a*2a=0, f_a=qa/2.

（四）平面桁架  （考點）

（房屋建筑，起重機，電視塔，油田井架或者橋梁都用）

1．定義

由若干直桿在兩端用鉸鏈彼此連接而成的幾何形狀不變的結構稱為桁架。

桿件與桿件的連接點稱為節(jié)點。

所有桿件的軸線在同一平面內(nèi)的桁架稱平面桁架，否則稱為空間桁架。

2．對于桁架的分析計算作如下假設：

(1)各桿件都用光滑鉸鏈連接。

(2)所有荷載在桁架平面內(nèi)，都作用在節(jié)點上。

(3) 各桿件的自重或略去不計，若考慮自重時，將其平均分配到桿件兩端的節(jié)點上。

其中桁架中各桿件都是二力桿，只受到軸向力作用，受拉或者受壓。

3．平面桁架內(nèi)力的計算方法

分析桁架的目的就在于確定各桿件的內(nèi)力，通常有兩種計算內(nèi)力的方法，如表4—1—7所述。

        表4-1-7平面桁架內(nèi)力計算方法

 

當需要計算桁架中全部桿件的內(nèi)力時，可采用節(jié)點法；若僅計算桁架中某幾根桿件的內(nèi)力，一般以截面法較為方便，但有時也可綜合應用節(jié)點法和截面法。在計算中，習慣將各桿件的內(nèi)力假設成拉力。若所得結果為正值，說明桿件是拉桿，反之則為壓桿。

為簡化計算，一般先要判別桁架中的零桿(內(nèi)力為零的桿件)，對于圖4—1—20所示的三種情況，零桿可以直接判斷出來。（節(jié)點法直接判斷）

（五）例題

【例4—1—4】  求桁架(圖4—1—2la)中桿ac、cd、de和eg的內(nèi)力。

首先觀察分析零桿(節(jié)點法)。由圖4—1—2la可知，桿he、fc和fg為零桿。

 

其次用截面法求ge、cd、ca桿的內(nèi)力。

作截面如圖4—1—2la所示。取上半部為研究對象，畫受力圖如圖4—1—2lb所示。

平衡方程

分解力s_ge.

再次，用節(jié)點法求de桿的內(nèi)力。取節(jié)點f為研究對象，其受力圖如圖4 －1—21c所示。有

 

 

注：共點力——點，選作轉軸，可以先忽略力的大小；利于分析問題。如c點的選擇。

七、滑動摩擦

當兩個相互接觸的物體有相對滑動或有相對滑動趨勢時，彼此間存在著阻礙滑動的作用，這種作用稱為滑動摩擦力。

（一）靜滑動摩擦力(簡稱靜摩擦力)

如下圖4-1-23，用比較小的力推物體，并不動，說明受到一個與推力相反的約束力，這個力叫靜摩擦力。大小由平衡條件確定。大小在一定的范圍內(nèi)變化0≤f≤f_m。

最大靜摩擦力fm的大小由靜摩擦定律決定，即

f_m=f’n

式中  f’為靜摩擦系數(shù)，n為接觸處的法向反力的大小。最大靜摩擦力fm存在于物體處于將動未動的臨界狀態(tài)。

（二）動滑動摩擦力(簡稱動摩擦力)

動摩擦力f’是相互接觸的兩物體間，具有相對滑動時的摩擦力。它的方向與物體相對滑動方向相反，大小由動摩擦定律決定，即

f’=f’*n

 f'為動摩擦系數(shù)。一般情況下，系數(shù)f’略小于系數(shù)f。沒有特別情況，有時可認為相等。

（三）摩擦角與自鎖現(xiàn)象

1. 全反力：

當存在摩擦時，支承面對平衡物體的約束力包括法向約束力n和靜摩擦力f，這兩力的合力r稱為支承面對物體作用的全約束反力，簡稱全反力，如圖4—1—23a所示。

2. 摩擦角

當物體受最大靜摩擦力時，全約束力（全反力）與支承面法線間的夾角φ_m(圖4—1—23b)。由圖4－1—23b可知

（切向/法向,摩擦當頭）

即摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)。一般。

3. 自鎖（臨界平衡）

只須主動力的合力作用線在摩擦角的范圍內(nèi)，物體依靠摩擦總能靜止，而與主動力大小無關的現(xiàn)象稱為自鎖。

θ<φ_m，保持靜止；θ>φ_m，開始滑動。θ=φm (圖4—1—24c)時物體處臨界平衡狀態(tài)

（四）考慮滑動摩擦時物體的平衡問題

考慮摩擦，物體多了約束反力。仍然按平衡條件求解。不同處：

1．摩擦力的大小判斷：f≤fm，物體平衡；否則滑動。

2，臨界值fm，且滿足fm=fn的關系式。

3．摩擦力范圍

o≤f≤fm。為避免解不等式，假設物體處于臨界狀態(tài)。

4．摩擦力的方向的判斷

總是與物體的相對滑動或相對滑動的趨勢方向相反。無法判斷方向，可以假定。當物體到達臨界狀態(tài)時，其指向確定，與相對滑動趨勢的方向相反。

（五）例題

例：2009年50題

該題全面考核了滑動摩擦力（臨界的最大靜摩擦力是靜止和滑動的分界線）