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機械波

機械波的產生和傳播;一維簡諧波表達式;描述波的特征量;陣面, 波前,波線;波的能量、能流、能流密度;波的衍射;波的干涉;駐 波;自由端反射與固定端反射;聲波;聲強級;多普勒效應。

一、基本內容

(一)機械波的產生和傳播

    1、產生機械波的條件:(1)波 ——產生振動。(2)彈性媒質——傳播振動。

2、波的傳播:注意:(1)波動中每一個質點均在其平衡位置附近振動,不隨波逐流,傳播的是振動狀態。

    2介質中質點的振動方向與波的傳播方向是兩個不同的概念,兩者方向不一定一致。

    3)介質質點的振動是波源振動的重復,在波的傳播方向上,質點的相位依次比波源落后。

    3、波的分類

按照質元振動方向和波的傳播方向間的關系,波分為兩類:

1)如果質元的振動方向與波的傳播方向相互垂直,這種波稱為橫波。例如拉緊的繩子,使其一端振動,那么就會在繩子上形成橫波。

2)如果質元的振動方向與波的傳播方向相平行,這種波稱為縱波。例如空氣中的聲波就是縱波。

(二)波的幾何描述

波陣面:在波動過程中,把振動相位相同的點連成的面,簡稱波面。也稱波陣面,等相面。

波前:在任何時刻,波面有無數多個,最前方的波面即是波前。波前只有一個。

波線:沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。

在各向同性介質中,波線與波面是垂直的。引入波面的概念后,可以按照波面對波進行分類,如圖一所示。例如波前為球面的波,稱為球面波; 波前為平面的波,稱為平面波;波前為柱面的波,稱為柱面波。

圖一

    (三)描述波的物理量及其相互聯系

    1、描述波動的物理量(分為兩類,)

    1)描述介質質點振動的物理量:振幅、周期頻率、相位、初相、位移、速度(振動)和加速度

    2)描述波傳播的物理量

波速 u :振動狀態傳播的速度,又叫相速。速度的大小由媒質的性質決定,與波源情況無關。

例如,標準情況下,不管是高頻聲音還是低頻聲音,在空氣中傳播的速度都是340m/s.

    周期t:一個完整的波通過波線上的一點所需的時間。顯然,也是該點完成一次全振動的時間,所以波的周期等于振動周期。

    頻率(:單位時間通過波線上一點的完整的波形數目,即,波的頻率等于振動頻率,由波源決定,和介質無關。

波長l:波線上相鄰的,振動狀態相同的兩質元間的距離。它由波源和媒質共同決定。

這四個量之間的關系,可以這樣去記憶,在一個周期t內,波前進了一個波長l的距離,所以波速與波長以及周期的關系為u=l/t, 考慮到 ,因而還有u=lν。

固體內的橫波和縱波的傳播速度分別為

橫波: 縱波: 其中g為固體的切變模量,y為固體的楊氏彈性模量;ρ為固體的密度。

液體和氣體中,縱波波速為:,其中b為容變彈性模量。

    (四)一維簡諧行波的表達式

   1、沿x軸正向傳播的平面簡諧行波

設無吸收均勻彈性介質中傳播的機械波波線上o點的振動規律已知,(注意:該點不一定是波源),取其為坐標原點。

圖二

    x質點在波線上的平衡位置的坐標。

    y質點振動時對平衡位置的位移。

o點的振動方程為                 ,表達式中a為振幅,描述質元振動過程中的最大位移值,是一個正值。ω為振動的角頻率;φo點振動初相位。

振動由op所需的時間為:

   

    t 時刻,p點的振動狀態是o點在 時的狀態,

   p 點在任一時刻 t的位移應與 o 點在 時刻的位移相等:   

   

         可以表示波線上任意點 任意時刻的振動情況,為沿x軸正向傳播的平面簡諧行波的方程。

注意:

(1)      x一定時,(令x = x1),則 y 只是t的函數,波動方程變為:

。這是一個振動方程,給出x1點的振動位移隨時間的變化,x1點的振幅為a,初相位為。顯然,不同點的振動初相位不同。

(1)      t一定時,(t=t1), y只是x的函數,波動方程變為:

       ,該式描述的是t1時刻波線上任一質元的位移,如圖所示。

 

(2)      x t都變化時,波動方程表示在波的傳播方向所有質元各個時刻的位置。在時間內,振動狀態將傳播的距離,波形將向前平移的距離,平移速度為u, 表達式描述的是跑動的波,稱為行波。

    

(3)      在波動過程中,波線上兩點x1x2兩處質元振動的相位差為

               

2、     沿x軸負向傳播的平面簡諧行波

      

   

   

     【例】一平面簡諧波的表達式為  則此波的波長為:

      a π/ 100             b π/ 200              c π/ 50                 d 50

     答案 a

     思路:此類題目,由一個簡諧波的表達式推算出波長、頻率、周期、振幅或者其他相關各量的通用方法就是比較表達式與標準簡諧波表達式,找出對應的系數即可。

     分析:標準表達式展開為比較可知u以及ω的值,再利用各物理之間的關系,便可計算其他的量。

(五)波的能量

   1、體積元的能量、能量密度

波傳到介質中某處,該處體積元開始振動,具有動能dek,同時由于形變,也具有勢能dep,波的能量就是指的這些勢能與動能之和。兩者大小相同,變化同步,某一質元其動能達到最大值的時候,勢能也是最大的。

6

具體形式為:

    6

    式中為介質密度,dv為體元的體積

體積元的總機械能:

7

上式表明,體積元中的總能量隨時間做周期性變化,說明任一體積元都在不斷的吸收和放出能量,它們是傳播能量的載體。因此,波的傳播是能量傳播的一種形式。

波的能量和振動能量的區別

    ①波傳播過程中任一體積元,其動能和勢能隨時間同相變化,它們同時達到最大,同時達到最小;諧振系統的動能和勢能相位差,動能達到最大時,勢能最小為零,勢能達到最大時,動能最小為零。

②波的傳播過程中任一體積元的總能量隨時間做周期性的變化;諧振系統的總能量是一恒量。 

介質中單位體積內所存儲的能量稱為能量密度,即

         8

    平均能量密度 (對時間取平均)

                                                           

2能流與能流密度

    平均能流——單位時間內通過某一面積的平均能量,稱為通過該面積的平均能流。也稱為波的功率,用表示為9

能流密度 (波的強度) ——通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度,通常稱為能流密度或波的強度。10

顯然,平均能流密度與波的振幅、圓頻率以及波速均有關,單位是w/m2

波的疊加原理

當幾列波在介質中傳播時,在相遇的區域中,他們依然獨立的保持著各自原有的特性,(包括頻率、波長、振幅、振動方向等),按照原來的傳播方向繼續前進,猶如沒有遇到其他波一樣。在相遇區域內的質點的振動位移,將是各列波單獨存在時的振動位移之和。

(六)波的衍射、惠更斯原理

介質中波陣面(波前)上的每個點,都可看成是產生球面子波的波源;在其后的任一時刻,這些子波的包絡面構成新的波陣面。

惠更斯原理能很好的解釋衍射現象:波在傳播過程中,如果遇到障礙物時,波線發生彎曲并繞過障礙物的現象。  

相對于波長而言,障礙物越大,衍射現象越不明顯,障礙物越小,衍射現象越明顯。