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一維隨機變量的分布和數字特征

隨機變量是概率統計中重要的基本概念。隨機事件可以通過隨機變量 x 表示，隨機事件的概率一般形如p（ a < x b ) ，p（ a < x < b ) ， … ，其中- a  b ＋ 。如果一個變量依試驗結果的改變而取不同的實數值，那么稱這個變量為（一維）隨機變量。

 隨機變量分布的含義是“隨機變量取值的統計規律”。常用的形式有概率分布表，概率密度函數與分布函數。隨機變量數字特征的含義是“用某些實數來反映隨機變量分布的主要特征”。常用的形式有（數學）期望與方差。

 

離散型隨機變量的概率分布表

離散型隨機變量 x 只可能取有限個或一串值，假定記作 x ₁, , x₂ ， … ，x_k， … 。 x 的概率分布（表）為

其中=1, p_k=p （ x = x _k） > 0 , k = 1 , 2 ， … 。由上述概率分布表可以計算概率

其中i 是實數軸上的一個集合。

 

連續型隨機變量的概率密度函數

連續型隨機變量 x 的概率密度函數 p （ x )必須滿足

由上述概率密度函數可以計算概率

對任意一個實數 x ₀，p（ x = x_o ）= 0

隨機變量的分布函數

 1 ．定義  隨機變量 x 的分布函數 f （ x ）定義為

2 ．性質

3 ．設 x 為連續型隨機變量，概率密度函數為 p （x）

（ 1 ) f （ x ）是連續函數；

 （ 2 ）在 p （ x ）的連續點處， f ' （ x ) = p （ x ) ;

 

隨機變量的期望

隨機變量 x 的期望反映了 x 的平均取值，記作 e （ x ）。

 1 ．定義  當 x 為離散型隨機變量時，

當 x 為連續型隨機變量時，

2 ．性質

（1 )e（ c) =c ,其中c是常數；

（2 )e（kx ) = ke （ x ) ，其中k是常數；

（ 3 ) e （ x + c ) = e （ x ) ＋c，其中c是常數；

（ 4 ) e （ kx + ly + c ) = ke （ x ) + le （ y ) ＋c.

 3 ．隨機變量函數的期望

設 y = f （ x ) ，當 x 為離散型隨機變量時，

當 x 為連續型隨機變量時，

隨機變量的方差

隨機變量 x 的方差反映了 x取值的波動程度，記作 d （ x ）。

1 ．定義  d （ x ) = e [ x 一e （ x ) ] ² , 稱為 x 的標準差

2 ．計算公式。 d （ x )= e （x² ）一［ e （ x ) ] ² 。

3 ．性質

（1)  d （c)= 0 ，其中c是常數；

（ 2)  d（kx)= k²d （x ),其中k是常數;

（3)  d（x+c) =d （x), 其中c是常數；

（4)  當 x 與 y 相互獨立時， d （ kx + ly＋c） = k²d （ x ) + l²d （ y ）。

常用隨機變量的分布和數字特征

 1 ．二點分布（或伯努利分布），參數為 p ,0 < p < 1 ，它的概率分布為

且 e （ x ) = p , d （ x ) = p （ 1 - p ）。

 2 ．二項分布，參數為n、 p , 0 < p < 1 。它的概率分布為

且 e （ x ) = n p , d （ x ) ＝n p （ 1 一 p ）。

3 ．泊松分布，參數為，＞ 0 。它的概率分布為

且 e （ x ) = d （ x ) ＝。

 4 ．均勻分布，參數為 a 、 b ,a < b 。它的概率密度函數為

且e （ x) =（ a ＋b） , d （ x ) =（b –a )² .

5 ．指數分布，參數為，＞ 0 。它的概率密度函數為

且 e （ x ) =，一貴， d （ x ) =.

6 ．正態分布 n （, ) ，參數為,， -＜x＜十，＞ 0 。它的概率密度函數為

且 e （ x ) ＝， d （ x ) ＝。