二 連續
（一）函數的連續性與間斷點
1 ．函數的連續性
設 f （ x ）在 x 0的某鄰域內有定義。
若
（ x ）= f （x0） ，則稱 f （x）在 x0 連續;
若 
,則稱 f （ x ）在 x 0左連續；
若
，則稱 f （ x ）在 x0 右連續。
若函數f（ x ） 在區間i上每一點都連續，則稱 f （ x ）在該區間上連續。特別，當i = [ a , b ］時, f （ x ）在 [ a ，b]上連續，是指 f （ x ）在（a， b ）內每一點處連續，且在 a 處右連續,在 b 處左連續。
2 ．函數的間斷點
由函數在一點連續的定義可知,函數 f （ x ）在一點 x 0處連續的條件是:
（ 1 ） f （ xo ）有定義；
（ 2 ） （ x ）存在；
（ 3 ） （ x ）= f （x0）。
若上述條件中任何一條不滿足, 則f （ x ）在 x 0處就不連續，不連續的點就稱函數的間斷點。間斷點分成以下兩類：
第一類間斷點： x0是f （ x ）的間斷點，但f （x0-）及f （x0+）均存在；
第二類間斷點：不是第一類的間斷點。
在第一類間斷點中，若
` 
均存在但不相等,則稱這種間斷點為跳躍間斷點；若 f （ x0-） , f （ xo +
）均存在而且相等，則稱這種間斷點為可去間斷點。
（二）初等函數的連續性
1 ．基本初等函數和初等函數
冪函數、指數函數、時數函數、三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數。
由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。
2 ．初等函數的連續性
一切初等函數在其定義區間內都是連續的，這里的“定義區間”是指包含在定義域內的區間。
（三）閉區間上連續函數的性質
設函數 f （ x ）在閉區間 [a ，b]上連續，則
（ l ） f （ x ）在［ a ，b］上有界（有界性定理） ;
（ 2 ） f （ x ）在[ a ，b]上必有最大值和最小值（最大值最小值定理） ;
（ 3 ）當 f （ a ） f （b） < 0 時，在（ a ，b）內至少有一點ξ，使得 f （ξ） = 0 （零點定理；
（ 4 ）對介于 f （ a ） = a 及 f （ b ） = b 之間的任一數值c ，在（ a , b ）內至少有一點ξ，使得 f （ξ）=c （介值定理）。